学业分层测评(二十二)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x-10y-7=0的位置关系是________.
【解析】 圆x2+y2+4x-4y+7=0的圆心是C1(-2,2),半径长r1=1;圆x2+y2-4x-10y-7=0的圆心是C2(2,5),半径长r2=6,则|C1C2|=5=r2-r1,故两圆内切.
【答案】 内切
2.两圆相交于点A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线l:x-y+c=0上,则m+c=________.
【解析】 由题意可知,AB⊥l,由于kl=1,故kAB=-1,
即=-1,解得m=5.又AB的中点在直线l上,故3-1+c=0,解得c=-2,所以m+c=5-2=3.
【答案】 3
3.两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2外切,则正实数r的值是__________.
【解析】 由题意,得2r==,
∴r=.
【答案】
4.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4相切,则m的值为________.
【导学号:41292113】
【解析】 圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径长为3,圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径长为2.当C1,C2外切时有=3+2,即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5;当C1,C2内切时有=3-2,即m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2.
【答案】 -5,-2,-1,2
5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是________________.
【解析】 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5,-7)为圆心,以3或5为半径的圆.
【答案】 (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
6.两个圆C1:x2+y2+2x+2y+1=0与C2:x2+y2-4x-2y
4
+3=0的公切线有且仅有________条.
【解析】 C1:(x+1)2+(y+1)2=1,
C2:(x-2)2+(y-1)2=2.
圆心距d=C1C2==.
d>r1+r2=1+,
∴两圆C1与C2相外离有4条公切线.
【答案】 4
7.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则PQ的最小值是__________.
【解析】 若两圆相交或相切,则最小值为0;若两圆外离,则最小值为C1C2-r1-r2.(x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C1(4,2),半径r1=3;(x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C2(-2,-1),半径r2=2.又C1C2=3,显然两圆外离,所以PQ的最小值是3-5.
【答案】 3-5
8.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+64=0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
【解析】 依题意,已知曲线为一个圆,其标准方程为(x-6)2+(y-6)2=8,所以所求圆的圆心在直线y=x上,直径为已知圆圆心到直线x+y-2=0的距离减去已知圆半径,即-2=3,设所求圆的圆心为(a,b),
则
得a=b=,
所以所求圆的标准方程为
+=.
【答案】 +=
二、解答题
9.圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方,x轴被圆C截得的弦长BD为2.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆E与圆C关于直线2x-4y+5=0对称,试判断两圆的位置关系.
【解】 (1)设圆心坐标为(a,-2a),则圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=9,
作CA⊥x轴于点A,在Rt△ABC中,CB=3,AB=,
∴CA=2,所以|-2a|=2⇒a=±1,
4
又因为点C在x轴的下方,所以a=1,
即C(1,-2),
所以圆的方程为:(x-1)2+(y+2)2=9.
(2)点C(1,-2)到直线的距离为
d===>3,
所以圆C与直线2x-4y+5=0相离.
而圆E与圆C关于直线2x-4y+5=0对称,
所以圆E与直线2x-4y+5=0也相离,故两圆相离.
10.设M={(x,y)|y=,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0},且M∩N≠∅,求a的最大值和最小值.
【解】 M={(x,y)|y=,a>0},即{(x,y)|x2+y2=2a2,y≥0},表示以原点O为圆心,半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).
N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0},表示以O′(1,)为圆心,半径等于a的一个圆.
再由M∩N≠∅,可得半圆和圆有交点,故半圆和圆相交或相切.
当半圆和圆相外切时,由OO′=2=a+a,
求得a=2-2;
当半圆和圆相内切时,由OO′=2=a-a,
求得a=2+2,
故a的取值范围是[2-2,2+2],
a的最大值为2+2,最小值为2-2.
[能力提升]
1.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=截得的弦长是__________.
【解析】 圆C1,C2方程相减得公共弦所在的直线方程为x+y-1=0,则圆心C3(1,1)到直线的距离d==,所以所求弦长为2=2×=.
【答案】
2.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=________.
【解析】 依题意,可设圆心坐标为(a,a),半径为r,其中r=a>0,因此圆的方程是(x-a)2+(y-a)2=a2,由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即a2-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心C1,C2的横坐标,|C1C2|=×=8.
4
【答案】 8
3.过点A(4,-1),且与圆x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B(1,2)的圆的方程是________.
【解析】 圆x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为(-1,3),半径为,所以两圆的圆心连线的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
设要求的圆的圆心为(x,y),
则=,
化简得x-y-2=0即圆心所在直线方程,联立两条直线方程得圆心坐标为(3,1),半径为,即所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
【答案】 (x-3)2+(y-1)2=5
4.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.
(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;
(2)是否存在正实数r,使得动圆C满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.
又因为动圆过点(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25.
解方程组
得或
故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==5.
当r满足r+5d,即r>5-5时,与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有两个.
综上,当r=5-5时,动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个.
4