2.3.1 空间直角坐标系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.
【解析】 点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.
【答案】 0
2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．
其中叙述正确的序号是________．
【解析】 由图形几何性质知①②③错，④正确．
【答案】 ④
3.如图2－3－3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．
图2－3－3
【解析】 ∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，
∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，
∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．
【答案】 (0,0,1)
4.如图2－3－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．
图2－3－4
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【解析】 由点B1的坐标为(a，a，a)知点D1的坐标为(0,0，a)．
【答案】 (0,0，a)
5．已知点M到三个坐标平面的距离都是1，且点M的三个坐标同号，则点M的坐标为________．
【解析】 根据点M到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)
6．已知点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，PP′＝1，则点P′和P的坐标分别为________，________.
【导学号：41292118】
【解析】 由于P′在x轴的正半轴上，故点P′的坐标为(2,0,0)，又PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，故P点坐标为(2,0，±1)．
【答案】 (2,0,0) (2,0，±1)
7.正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝|BD′|，建立如图2－3－5所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为________．
图2－3－5
【解析】 如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝|BD′|，所以|DH|＝|DD′|＝，|DF|＝|DA|
＝，|DG|＝|DC|＝，所以P点的坐标为.
【答案】
8.如图2－3－6, M－OAB是棱长为a的正四面体，顶点M在底面OAB上的射影为H，则M的坐标是________．
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图2－3－6
【解析】 由M－OAB是棱长为a的正四面体知B，A(0，a,0)，O(0,0,0)．
又点H为△OAB的中心知H，
从而得M的坐标是.
【答案】
二、解答题
9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标.
【导学号：41292119】
【解】 如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，
连结BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，OB＝.
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A，B，C.
∵点A1，C1均在yOz平面内，
∴A1，C1.
∵点B1在xOy面内的射影为点B，且BB1＝1，
∴B1.
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10．如图2－3－7，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
图2－3－7
【解】 ∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，∴可以以顶点A为原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AD⊥平面AA1B1B，∴∠ABD就是直线BD与平面AA1B1B所成的角，∠ABD＝30°，
∴Rt△BAD中，由AB＝2，AE⊥BD，∠ABD＝30°可解得AD＝AB·tan 30°＝2×＝，BD＝2AD＝，AE＝1.
过点E在平面ABCD内作AB的垂线EM，垂足为点M，∴Rt△AEM中，EM＝AE·sin 60°＝，
AM＝AE·cos 60°＝.
又长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AA1＝1，F为A1B1的中点，
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，A1(0,0,1)，
B1(2,0,1)，C，D，
E，F(1,0,1)．
[能力提升]
1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是________．
【解析】 由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．
【答案】 关于y轴对称
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2．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为________．
【解析】 点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．
【答案】 (－4,0，－6)
3.如图2－3－8所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，写出A，B，C，D，P，E的坐标．
图2－3－8
A________，B________，C________，
D________，P________，E________.
【解析】 如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，与过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D，P(0,0,2)，E.
【答案】 (0,0,0) (1,0,0) (0,0,2) (答案不唯一)
4.如图2－3－9所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标.
【导学号：41292120】
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图2－3－9
【解】 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以OE⊥AF，OE⊥BC，
又BC是圆O的直径，
所以OB＝OC，
又AB＝AC＝6，
所以OA⊥BC，BC＝6.
所以OA＝OB＝OC＝OF＝3.
如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)．
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