2017-2018学年天津市宝坻区高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合A={1，3，6}，B={2，3，5}，则A∩B等于（ ）
A．{3} B．{1，3，4，5，6} C．{2，5} D．{1，6}
2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
3．已知x∈R，f（x）=，则f（）等于（ ）
A． B．1 C． D．
4．函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）
5．下列函数中与函数y=x相等的函数是（ ）
A．y=（）2 B．y=log33x C．y=2 D．y=
6．幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，+∞）
7．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+4000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
8．已知a=log0.70.6，b=ln0.6，c=0.70.6，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
9．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1）
10．已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（1，2） C．（0，+∞） D．（0，1）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）.
11．27﹣（30.5）2+8= ．
12．函数f（x）=a2x+1+2（a＞0，且a≠1）图象恒过的定点坐标为 ．
13．设偶函数f（x）的定义域为[﹣5，5]．当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＞0的解集为 ．
14．函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m= ．
15．定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2x2﹣x，则当x＞0时，f（x）= ．
16．已知函数f（x）=logax+x﹣b（a＞0且a≠1），当3＜a＜4＜b＜5时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n= ．
三、解答题：共56分．
17．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜5}．
（1）当a=0时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
18．已知二次函数f（x）=2kx2﹣2x﹣3k﹣2，x∈[﹣5，5]．
（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数k的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
19．已知函数f（x）=lg[（）x﹣2x]．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．
20．已知函数f（x）=为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣2，1，2}}，λ=lg22+lg2•lg5+lg5﹣4，判断λ与集合E的关系；
（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣5m，2﹣5n]，求实数m，n的值．
2017-2018学年天津市宝坻区高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合A={1，3，6}，B={2，3，5}，则A∩B等于（ ）
A．{3} B．{1，3，4，5，6} C．{2，5} D．{1，6}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵集合A={1，3，6}，B={2，3，5}，
∴A∩B={3}，
故选：A．
2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定
【考点】56：二分法求方程的近似解．
【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．
【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选B．
3．已知x∈R，f（x）=，则f（）等于（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】3T：函数的值．
【分析】推导出f（）=f（）=f（）=f（），由此能求出结果．
【解答】解：∵x∈R，f（x）=，
∴f（）=f（）=f（）=f（）=．
故选：C．
4．函数f（x）=的定义域为（ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】由分式的分母不为0求解x的范围得答案．
【解答】解：由log2x≠0，得x＞0且x≠1．
∴函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．
故选：D．
5．下列函数中与函数y=x相等的函数是（ ）
A．y=（）2 B．y=log33x C．y=2 D．y=
【考点】32：判断两个函数是否为同一函数．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；
对于B，y=log33x=x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于C，y==x（x＞0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；
对于D，y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，不是同一函数．
故选：D．
6．幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，+∞）
【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】设出幂函数的解析式，将已知点的坐标代入，求出幂函数的解析式，由于幂指数大于0，求出单调区间．
【解答】解：设幂函数f（x）=xa，
则2a=，解得a=﹣4
∴f（x）=x﹣4；
∴f（x）=x﹣4的单调递增区间是（﹣∞，0），
故选：C．
7．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+4000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【考点】3T：函数的值．
【分析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x﹣（5x+4000）≥0，由此能求出结果．
【解答】解：该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x﹣（5x+4000）≥0，
解得x≥800．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为800本．
故选：D．
8．已知a=log0.70.6，b=ln0.6，c=0.70.6，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考点】4M：对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=log0.70.6＞log0.70.7=1，b=ln0.6＜0，c=0.70.6∈（0，1），
∴a＞c＞b．
故选：B．
9．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1）
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得f（2x﹣1）＜f（1）⇒f（|2x﹣1|）＜f（1），进而结合单调性分析可得|2x﹣1|＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（2x﹣1）＜f（1）⇒f（|2x﹣1|）＜f（1），
又由函数在区间[0，+∞）上单调递增，
则f（|2x﹣1|）＜f（1）⇒|2x﹣1|＜1，
解可得：0＜x＜1，
故选：B．
10．已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（1，2） C．（0，+∞） D．（0，1）
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】若关于x的方程|2x﹣1|=a有两个不等实数根，则函数y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，画出函数y=|2x﹣1|的图象，数形结合可得实数a的取值范围．
【解答】解：若关于x的方程|2x﹣1|=a有两个不等实数根，
则y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，
函数y=|2x﹣1|的图象如下图所示：
由图可得，当a∈（0，1）时，函数y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，
故实数a的取值范围是（0，1），
故选：D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）.
11．27﹣（30.5）2+8= ．
【考点】46：有理数指数幂的化简求值．
【分析】根据有理数指数幂的运算规律化简计算．
【解答】解：原式=（33）﹣3+（23）=3﹣3+2﹣2=．
故答案为：．
12．函数f（x）=a2x+1+2（a＞0，且a≠1）图象恒过的定点坐标为 （，3） ．
【考点】4A：指数函数的图象变换．
【分析】由2x+1=0求得x值，进一步求得y值得答案．
【解答】解：由2x+1=0，解得x=﹣，此时y=a0+2=3，
∴数f（x）=a2x+1+2（a＞0，且a≠1）图象恒过的定点坐标为：（，3）．
故答案为：（，3）．
13．设偶函数f（x）的定义域为[﹣5，5]．当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＞0的解集为 （﹣2，0）∪（0，2） ．
【考点】3L：函数奇偶性的性质；3O：函数的图象．
【分析】先求得不等式f（x）＞0在[0，5]上的解集，再根据它的图象关于y轴对称，可得可得不等式f（x）＞0在[﹣5，0]上的解集，综合可得结论．
【解答】解：结合函数f（x）在[0，5]上的图象，可得不等式f（x）＞0在[0，5]上的解集为（0，2）．
再根据f（x）为偶函数，它的图象关于y轴对称，可得可得不等式f（x）＞0在[﹣5，0]上的解集为（﹣2，0）．
综上可得，不等式f（x）＞0的解集为 （﹣2，0）∪（0，2），
故答案为 （﹣2，0）∪（0，2）．
14．函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m= 2 ．
【考点】49：指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的单调性，进行讨论解方程即可得到结论．
【解答】解：若a＞1，∵函数f（x）=ax（a＞0，a≠1﹚在区间[1，2]上的最大值为4，最小值为m，
∴a2=4，解得：a=2，而m=a，故m=2，符合题意；
若0＜a＜1，∵函数f（x）=ax（a＞0，a≠1﹚在区间[1，2]上的最大值为4，最小值为m，
∴a=4，m=a2，解得m=16，不合题意，
∴m=2，
故答案为：2．
15．定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=2x2﹣x，则当x＞0时，f（x）= ﹣2x2﹣x ．
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】任取x＞0，则﹣x＜0，结合当x＜0时，f（x）=2x2﹣x，f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=﹣f（﹣x），可得x＞0时，f（x）的解析式；
【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=2x2﹣x，
任取x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2+x=2x2+x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2x2﹣x．
故x＞0时，f（x）=﹣2x2﹣x，
故答案为：﹣2x2﹣x．
16．已知函数f（x）=logax+x﹣b（a＞0且a≠1），当3＜a＜4＜b＜5时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n= 3 ．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】根据a，b的范围判断f（3），f（4）的符号，从而得出零点x0的范围．
【解答】解：∵3＜a＜4＜b＜5，
∴0＜loga3＜1，1＜loga4＜2，﹣2＜3﹣b＜﹣1，﹣1＜4﹣b＜0，
∴f（3）=loga3+3﹣b＜0，f（4）=loga4+4﹣b＞0，
∴f（x）在（3，4）上存在零点．
故答案为3．
三、解答题：共56分．
17．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜5}．
（1）当a=0时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】（1）当a=0时，求出A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜5}．由此能求出A∩B．
（2）A⊆B，当A=∅时，a﹣1≥2a+1，a，当A≠∅时，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=0时，A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜5}．
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）A⊆B
①当A=∅时，a﹣1≥2a+1，a≤﹣2，成立，
②当A≠∅，即a＞﹣2时，
∴1≤a≤2
∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣2]∪[1，2]．
18．已知二次函数f（x）=2kx2﹣2x﹣3k﹣2，x∈[﹣5，5]．
（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数k的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】（1）当k=1时，f（x）=2x2﹣2x﹣5，可得区间（﹣5，）上函数为减函数，在区间（，5）上函数为增函数．由此可得[f（x）]max=55，[f（x）]min=﹣；
（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是[a，+∞），由[﹣5，5]⊂[a，+∞）解出a≤﹣5，即为实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当k=1时，函数表达式是f（x）=2x2﹣2x﹣5，
∴函数图象的对称轴为x=，
在区间（﹣5，）上函数为减函数，在区间（，5）上函数为增函数．
∴函数的最小值为[f（x）]min=f（）=﹣，
函数的最大值为f（5）和f（﹣5）中较大的值，比较得[f（x）]max=f（﹣5）=55．
综上所述，得[f（x）]max=55，[f（x）]min=﹣．
（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=对称，
∴要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，
则必有≤﹣5或≥5，
解得≤k＜0或0＜k≤．
即实数k的取值范围为[，0）∪（0，]．
19．已知函数f（x）=lg[（）x﹣2x]．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并给出证明．
【考点】4N：对数函数的图象与性质．
【分析】（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，即2﹣x＞2x
，利用指数函数的单调性解出即可得出．
（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．利用定义及其指数函数的单调性即可给出证明．
【解答】解：（1）要使f（x）有意义，须（）x﹣2x＞0，
即2﹣x＞2x，可得：﹣x＞x，∴x＜0．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．
（2）f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．下面给出证明：
设x2＜0，x1＜0，且x2＞x1，则x2﹣x1＞0
令g（x）=（）x﹣2x，
则g（x2）﹣g（x1）=﹣﹣+
=﹣+﹣
=
=
∵0＜＜1，x1＜x2＜0，
∴﹣＜0
g（x2）﹣g（x1）＜0，∴g（x2）＜g（x1）
∴lg[g（x2）]＜lg[g（x1）]，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
20．已知函数f（x）=为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣2，1，2}}，λ=lg22+lg2•lg5+lg5﹣4，判断λ与集合E的关系；
（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣5m，2﹣5n]，求实数m，n的值．
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】（1）根据函数f（x）=为偶函数满足f（﹣x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；
（2）由（1）中函数f（x）的解析式，将x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案
（3）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，x∈[，]（m＞0，n＞0）构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值
【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（﹣x），
即=，
即2（k+2）x=0，x∈R且x≠0，
∴k=﹣2．
（2）由（1）可知，f（x）=，
当x=±2时，f（x）=0；
当x=1时，f（x）=﹣3；
∴E={0，﹣3}，
而λ=lg2 2+lg 2•lg 5+lg 5﹣4，
=lg2 2+lg 2（1﹣lg 2）+1﹣lg 2﹣4=﹣3，
∴λ∈E．
（3）∵f（x）==1﹣，x∈，
∴f（x）在上单调递增，
∴，
∴，
即，
∴m，n是方程4x2﹣5x+1=0的两个根，
又由题意可知＜，且m＞0，n＞0，∴m＞n．
∴m=1，n=．
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