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2017-2018学年四川省宜宾市高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．
1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N等于（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
2．已知复数z满足（1+i）z=1+3i，则复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题p：∃x0∈R，sinx0＞1，则（ ）
A．¬p：∃x0∈R，sinx0≤1 B．¬p：∀x∈R，sinx＞1
C．¬p：∃x0∈R，sinx0＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx≤1
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边，则“a＞b”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．把函数y=f（x）（x∈R）的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的y=sinx图象，则函数y=f（x）的解析式是（ ）
A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（），x∈R
C．y=sin（2x），x∈R D．y=sin（2x），x∈R
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和Sn，已知a3=4，a8=14，则S10等于（ ）
A．90 B．120 C．150 D．180
7．已知||=2，||=1，与的夹角为60°，则（+2）（﹣3）的值等于（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
8．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．﹣1 D．
9．已知函数f（x）是奇函数，且f（x）≠0，g（x）=
，若g（1）=﹣1，则g（﹣1）等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列四个命题：
①若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．
②若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内．
③若直线a，b，平面α，β满足a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β．
④若两个平面互相垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是（ ）
A．4+2 B．6 C．6 D．8
12．已知函数f（x）=kex﹣x2﹣x+1有三个不同零点，则k的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（﹣e，）
C．（﹣，） D．（）∪（，+∞）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设向量=（﹣2，1），=（1，3），若向量与向量=（﹣3，﹣2）共线，则λ= ．
14．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，3S2，5S3成等差数列，则{an}的公比为 ．
15．已知正四面体的内切球体积为，则该正四面体的体积为 ．
16．设函数f（x）=，则满足2f（x）＞f（x+3）的x的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．
17．已知公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn，若S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内，图象经过M（），N（）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x，求f（x）的最值．
19．已知二次函数f（x）满足f（x）=f（﹣4﹣x），f（0）=3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|=2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x＞0，求g（x）=的最大值．
20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a﹣c．
（ I）求B；
（ II）若，求△ABC的面积．
21．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，DF=2BE=2，BE∥DF，FC=AF=2．
（Ⅰ）求证：EC∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面BDFE；
（Ⅲ）求点F到平面ACE的距离．
22．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a为实数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=，不等式＜f（x）在（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．
2017-2018学年四川省宜宾市高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．
1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N等于（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：∵M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，
∴M∩N={0，1}，
故选：B．
2．已知复数z满足（1+i）z=1+3i，则复数z对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，得到z的坐标，则答案可求．
【解答】解：∵（1+i）z=1+3i，
∴（1+i）（1﹣i）z=（1+3i）（1﹣i），
∴2z=4+2i，
∴z=2+i
∴复数z对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．
故选：A
3．已知命题p：∃x0∈R，sinx0＞1，则（ ）
A．¬p：∃x0∈R，sinx0≤1 B．¬p：∀x∈R，sinx＞1
C．¬p：∃x0∈R，sinx0＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx≤1
【考点】2J：命题的否定．
【分析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可．
【解答】解：∵命题p“∃x0∈R，sinx0＞1“是一个特称命题
∴它的否定是：“∀x∈R，sinx≤1”
故选D
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边，则“a＞b”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据在（0，π）上，函数f（x）=cosx为减函数，判断角的大小关系，进而结合充要条件的定义可得答案．
【解答】解：（1）∵a、b分别是角A、B所对的边，且a＜b，
∴0＜∠A＜∠B＜π．
而在（0，π）上，函数f（x）=cosx为减函数．
∴cosA＞cosB成立．
（2）在（0，π）上，函数f（x）=cosx为减函数，0＜∠A，∠B＜π，cosA＞cosB，
∴∠A＜∠B，从而a＜b．
所以前者是后者的充要条件．
故选：C
5．把函数y=f（x）（x∈R）的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的y=sinx图象，则函数y=f（x）的解析式是（ ）
A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（），x∈R
C．y=sin（2x），x∈R D．y=sin（2x），x∈R
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接采用逆向思维，对函数的关系式进行平移和伸缩变换求出结果．
【解答】解：采用逆向思维的方法：
首先把函数y=sinx，图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到y=sin2x的图象，再把图象上所有点的横标向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）]=sin（2x+）的图象．
故选：D
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和Sn，已知a3=4，a8=14，则S10等于（ ）
A．90 B．120 C．150 D．180
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式求得公差，再由等差数列的前n项和求得S10．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a3=4，a8=14，得d=，
∴a1=a3﹣2d=4﹣4=0，
∴．
故选：A．
7．已知||=2，||=1，与的夹角为60°，则（+2）（﹣3）的值等于（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的定义，计算即可．
【解答】解：||=2，||=1，与的夹角为60°，
则（+2）（﹣3）=﹣•﹣6
=22﹣2×1×cos60°﹣6×12
=﹣3．
故选：B．
8．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．5 B．3 C．﹣1 D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件不等式组，作出可行域如图，
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线y=2x﹣z过C（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z最大．
∴z=2×2+1=5．
故选：A．
9．已知函数f（x）是奇函数，且f（x）≠0，g（x）=，若g（1）=﹣1，则g（﹣1）等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】由已知可得g（﹣x）+g（x）=2，进而得到答案．
【解答】解：g（x）==1﹣，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）=0，
即g（﹣x）+g（x）=2，
若g（1）=﹣1，则g（﹣1）=3，
故选：C
10．下列四个命题：
①若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．
②若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内．
③若直线a，b，平面α，β满足a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β．
④若两个平面互相垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在①中，a，b有可能是共面直线；在②中，由直线与平面平行的性质定理得过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内；在③中，α与β相交或平行；在④中，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
【解答】解：在①中，若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，
则a，b有可能是共面直线，故①错误；
在②中，若直线a∥平面α，P∈α，
则由直线与平面平行的性质定理得过点P且平行于直线a的直线有且只有一条，且在平面α内，故②正确；
在③中，若直线a，b，平面α，β满足a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故③错误；
在④中，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，
如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，所有与BC平行直线都与它垂直，故④正确．
故选：B．
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是（ ）
A．4+2 B．6 C．6 D．8
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是底面为直角三角形，
且一侧面垂直于底面的三棱锥，结合图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为直角△ABC，
且侧面PAB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；
过点P作PO⊥AB，垂足为O，则O为AB的中点；
过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，连接PM、PN，
则PM⊥BC，PN⊥AC；
∴该几何体的表面积为
S=S△ABC+S△PBC+S△PAC+S△PAB
=×2×2+×2×+×2×+××
=6+．
故选：B．
12．已知函数f（x）=kex﹣x2﹣x+1有三个不同零点，则k的取值范围为（ ）
A．（0，） B．（﹣e，）
C．（﹣，） D．（）∪（，+∞）
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】若函数f（x）=kex﹣x2﹣x+1有三个不同零点，即k=有三个根，令h（x）=，利用导数和极限，分析函数的图象和性质，进而可得答案．
【解答】解：若函数f（x）=kex﹣x2﹣x+1有三个不同零点，
即k=有三个根，
令h（x）=，则h′（x）=，
当x＜﹣1，或x＞2时，h′（x）＜0，
当﹣1＜x＜2时，h′（x）＞0，
故当x=﹣1时，函数h（x）取极小值﹣e，
当x=2时，函数h（x）取极大值，
又由=0，
故k∈（0，），
故选：A
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．设向量=（﹣2，1），=（1，3），若向量与向量=（﹣3，﹣2）共线，则λ= ﹣1 ．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由平面向量坐标运算法则先求出，再由向量向量与向量=（﹣3，﹣2）共线，能求出λ．
【解答】解：∵向量=（﹣2，1），=（1，3），
∴=（﹣2，1）+λ（1，3）=（﹣2+λ，1+3λ），
∵向量与向量=（﹣3，﹣2）共线，
∴﹣3（1+3λ）=﹣2（﹣2+λ），
解得λ=﹣1，
故答案为：﹣1
14．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，3S2，5S3成等差数列，则{an}的公比为 ．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】根据S1，3S2，5S3成等差数列，可得6S2=5S3+S1，结合等比数列的前n项和公式可得{an}的公比．
【解答】解：由题意，S1，3S2，5S3成等差数列，可得6S2=5S3+S1，
∵{an}是等比数列，
∴6（a1+a1q）=5（a1+a1q）+a1．
解得：
故答案为：．
15．已知正四面体的内切球体积为，则该正四面体的体积为 8 ．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，进而求出棱长，可得正四面体的体积．
【解答】解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，
正四面体的棱长为a，
所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，
在等边三角形BCD中，BE= a，
AE==a．
由OB2=OE2+BE2，即有R2=（a﹣R）2+（a）2
解得，R=a．OE=AE﹣R=a，
由正四面体的内切球体积为，
其内切球的半径是 OE=1，
故a=2，
四面体的体积V==8，
故答案为：8
16．设函数f（x）=，则满足2f（x）＞f（x+3）的x的取值范围是 （﹣∞，﹣3+2ln2） ．
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】根据分段函数的解析式，分段求解讨论即可得答案．
【解答】解：函数f（x）=，
那么：f（x+3）=
由2f（x）＞f（x+3），
当x≤﹣3时，可得2×2＞2恒成立，显然2f（x）＞f（x+3）恒成立．
当x＞0时，2ex＞ex+3显然不成立．
当﹣3＜x≤0，可得2×2＞ex+3，解得：x＜2ln2﹣3，
即﹣3＜x＜2ln2﹣3，
综上可得：x的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣3），
故答案为（﹣∞，2ln2﹣3）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．
17．已知公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn，若S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列及S5=20列式求得首项和公差，则数列{an}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn=，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列，得
，即，
得，
∵d≠0，∴a1=2d，①
∵，得a1+2d=4，②
联立①②得：a1=2，d=1，
∴an=2+（n﹣1）×1=n+1；
（Ⅱ）∵bn==，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
=．
18．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内，图象经过M（），N（）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x，求f（x）的最值．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）由函数f（x）的图象在一个周期内的最高点和最低点坐标，求得T、ω的值；
再求得φ的值，即可写出f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得f（x）的最大最小值．
【解答】解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象在一个周期内的最高点
和最低点为，
得T=2×（﹣）=π，
ω==2；…
由点M（，2）在f（x）的图象上得2sin（+φ）=2，
即+φ=2kπ+，（k∈Z）；…
所以；
又φ∈（0，），
所以φ=，
所以f（x）=2sin（2x+）；…
（Ⅱ）因为x∈[0，]，所以2x+∈[，]；…
所以当2x+=或时，
即x=0或x=时，f（x）取得最小值为1；…
当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为2；…
19．已知二次函数f（x）满足f（x）=f（﹣4﹣x），f（0）=3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|=2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x＞0，求g（x）=的最大值．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）利用函数的零点，求出对称轴，求出零点，然后求解f（x）的解析式；
（Ⅱ）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可．
【解答】（本小题满分12分）
解（Ⅰ）∵f（x）=f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|=2．
∴f（x）的对称轴为：x=﹣2，可得x1=﹣3，x2=﹣1…
设f（x）=a（x+3）（x+1）（a≠0）…
由f（0）=3a=3得a=1，∴f（x）=x2+4x+3…
（Ⅱ）∵g（x）===≤=1﹣…
当且仅当．
∴…
20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a﹣c．
（ I）求B；
（ II）若，求△ABC的面积．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）直接由已知条件和正弦定理求出B的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和余弦定理进一步求出a的值，最后利用面积公式求出结果．
【解答】（I）由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC，
所以：2cosBsinC﹣sinC=0，
由于：0＜C＜π，
cosB=，
解得：B=．
（II）由（I）以及余弦定理可得7=a2+4﹣2a
∴a2﹣2a﹣3=0解得a=3或a=﹣1（舍去）．
．
21．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，DF=2BE=2，BE∥DF，FC=AF=2．
（Ⅰ）求证：EC∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面BDFE；
（Ⅲ）求点F到平面ACE的距离．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，FD∥BE，得平面BCF∥平面ADF，由此能证明EC∥平面ADF．
（Ⅱ） 推导出DF⊥DC，DF⊥DA，从而DF⊥平面ABCD，进而DF⊥AC，再求出DB⊥AC，从而AC⊥平面BDFE，由此能证明平面ACE⊥平面BDFE．
（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，由V三棱锥F﹣OEA=V三棱锥A﹣OEF，能求出F到平面ACE的距离．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，FD∥BE，AD∩FD=D，BE∩BC=B，
∴平面BCF∥平面ADF，EC⊂平面BEC，
∴EC∥平面ADF．…
（Ⅱ）∵FC=2，DC=DF=2，∴FC2=DC2+DF2，
∴DF⊥DC，同理DF⊥DA，
∴DF⊥平面ABCD，∴DF⊥AC，
又∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，
∵BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDFE，
∵AC⊂平面AEC，∴平面ACE⊥平面BDFE．…
解：（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，
由（2）可知，四边形BDFE是直角梯形，
，
又∵AO⊥平面BDFE，
∴，
又在△OBE中， ，
∴，
V三棱锥F﹣OEA=V三棱锥A﹣OEF，
解得，
∴F到平面ACE的距离为…
22．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），a为实数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=，不等式＜f（x）在（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ） 问题转化为b＜x2+2x+﹣（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）恒成立，令g（x）=x2+2x+﹣（x+1）ln（x+1），根据函数的单调性求出b的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣=，
（ i）当a≤0时，因x+1＞0，f′（x）＜0，
∴函数在（﹣1，+∞）上单调递减；…
（ ii） 当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=1﹣，
①当0＜a≤时，f′（x）≥0，
函数在（﹣1，+∞）上单调递增…
②当a＞时，x∈（﹣1，1﹣），f′（x）＜0，函数单调递减，
x∈（1﹣，+∞），f′（x）＞0，函数单调递增…
（Ⅱ）当a=时，f（x）=x﹣ln（x+1），
∴﹣＜f（x），∴﹣＜x﹣ln（x+1），
∴b＜x2+2x+﹣（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）恒成立，…
令g（x）=x2+2x+﹣（x+1）ln（x+1），
则g′（x）=x+1﹣ln（x+1）…
令h（x）=x+1﹣ln（x+1），h′（x）=1﹣=…
当x＞0 时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）为增函数，
故h（x）＞h（0）=1…
从而 当x＞0时g′（x）＞1，函数g（x）在（0，+∞）为增函数，
故g（x）＞g（0）=，
因此，当x＞0 时，恒成立，则b≤，
∴实数b的取值范围是（﹣∞，]…
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