第43练 函数与方程思想.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第43练　函数与方程思想 ‎[思想方法解读]　1.函数与方程思想的含义 ‎(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.‎ ‎(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.‎ ‎2.函数与方程思想在解题中的应用 ‎(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.‎ ‎(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.‎ ‎(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.‎ ‎(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.‎ 体验高考 ‎1.(2015·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.‎ 答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ 解析　函数g(x)有两个零点，‎ 即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，‎ 则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点.‎ ‎①若aa时，‎ f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，‎ f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.‎ ‎②若0≤a≤1，‎ 则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点.‎ ‎③若a>1，‎ 则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.‎ 综上，a1.‎ ‎2.(2015·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).‎ ‎①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；‎ ‎④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.‎ 答案　①③④⑤‎ 解析　令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，‎ 当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；‎ 当a0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x0恒成立，‎ 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ 故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，‎ 即当n＝1时，(bn)max＝，‎ 要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，‎ 则须使k≥(bn)max＝，所以实数k的最小值为.‎ 点评　数列问题函数(方程)化法 数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：‎ 第一步：分析数列式子的结构特征.‎ 第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.‎ 第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.‎ 第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.‎ 变式训练3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*).若＜－1，则(　　)‎ A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8‎ C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7‎ 答案　D 解析　由条件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列.‎ 又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的最小值为S7，故选D.‎ 题型四　函数与方程思想在解析几何中的应用 例4　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求m的取值范围.‎ 解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)，‎ 设c>0，c2＝a2－b2，‎ 由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.‎ 故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，也满足＝3，此时m＝±.‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m (k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，‎ Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)‎ x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为＝3，所以－x1＝3x2，‎ 所以则3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，‎ 即3·2＋4·＝0，‎ 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，‎ 即k2(4m2－1)＋2m2－2＝0，‎ 当m2＝时，上式不成立；‎ 当m2≠时，k2＝，‎ 由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，‎ 所以k2＝>0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得－10得x2－4x＋30时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞).‎ ‎(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.‎ ‎∵f(x)在R上单调递增，‎ ‎∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，‎ 即a≤ex在R上恒成立.‎ ‎∵当x∈R时，ex>0，‎ ‎∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值.‎ 解　(1)由题意得解得b＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 所以|MN|＝ ‎＝ ‎＝.‎ 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，‎ 所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.‎ 由＝，解得k＝±1.‎ 所以k的值为1或－1.‎ ‎10.已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47