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第二章 塞瓦定理及应用 ‎【基础知识】‎ 塞瓦定理 设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若，，三线平行或共点，则． ①‎ 证明 如图2-1（）、（），若，，交于一点，则过作的平行线，分别交，的延长线于，，得．‎ 又由，有．‎ 从而．‎ 若，，三线平行，可类似证明（略）．‎ 注 （1）对于图2-1（）、（）也有如下面积证法：‎ 由：，即证．‎ ‎（2）点常称为塞瓦点．‎ ‎（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证．‎ 首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理．‎ 如图2-1（）、（），分别对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理有 ‎ ‎，．‎ 上述两式相乘，得．‎ 其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理．‎ 如图2-2，设，，分别为的三边，，所在直线上的点，且，，三点共线．令直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点．‎ 分别视点，，，，，为塞瓦点，应用塞瓦定理，即 对及点（直线，，的交点），有．‎ 对及点（直线，，的交点），有．‎ 对及点（直线，，的交点），有．‎ 对及点（直线，，的交点），有．‎ 对及点（直线，，的交点），有．‎ 对及点（直线，，的交点），有．‎ 上述六式相乘，有．‎ 故．‎ 塞瓦定理的逆定理 设，，分别是的三边，，或其延长线上的点，若 ‎， ②‎ 则，，三直线共点或三直线互相平行．‎ 证明若与交于点，设与的交点为，则由塞瓦定理，有 ‎，又已知有，由此得，即，亦即，故与重合，从而，，三线共点．‎ 若，则．代入已知条件，有，由此知，故 ‎．‎ 上述两定理可合写为：设，，分别是的，，所在直线上的点，则三直线，，平行或共点的充要条件是． ③‎ 第一角元形式的塞瓦定理 设，，分别是的三边，，‎ 所在直线上的点，则三直线，，平行或共点的充要条件是 ‎． ④‎ 证明 由，，，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立．‎ 第二角元形的塞瓦定理 设，，分别的三边，，所在直线上的点，是不在的三边所在直线上的点，则，，平行或共点的充要条件是 ‎． ⑤‎ 证明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有 ‎．‎ 由此即证得结论．‎ 注 在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1．特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上．④、⑤式中的角也可按①式的对应线段记忆．‎ 推论 设，，，分别是的外接圆三段弧，，上的点，则，，共点的充要条件是 ‎．‎ 证明 如图2-3，设的外接圆半径为，交于，交于，交于．由，，，，，六点共圆及正弦定理，有．‎ 同理，，．‎ 三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证．‎ 为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图2-4中的点、、、、、，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子：‎ 对及点有 ，‎ 对及点有 ，‎ 对及点有 ，‎ 对及点有 ，‎ 对及点有 ，‎ 对及点有 ，‎ 对及点有 ，‎ 对及点有 ．‎ ‎【典型例题与基本方法】‎ ‎1．恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键 例1 四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段． （1978年全国高中竞赛题）‎ 证明 如图2-5，四边形的两组对边延长分别交于，，对角线，的延长线交于．‎ 对及点，应用塞瓦定理，有 ‎．‎ 由，有，代入上式，‎ 得，即．命题获证．‎ 例2 如图2-6，锐角中，是边上的高，是线段内任一点，和的延长线分别交，于，．求证：． （1994年加拿大奥林匹克试题）‎ 证法1 对及点，应用塞瓦定理，有． ①‎ 过作，延长，分别交于，，则，且，，从而 ‎，．‎ 而由①，有，故．‎ 由此知为等腰底边上的高，故．‎ 证法2 对及点应用塞瓦定理，有 ‎．‎ 即，由锐角性质知．类似地，对及截线或对及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有．‎ 注 将此例中的平角变为钝角，则有如下：‎ 例3 如图2-7，在四边形中，对角线平分．在上取一点，与相交于，延长交于．求证：．‎ ‎（1999年全国高中联赛题）‎ 证明 连交于，对及点，应用塞瓦定理，有 ‎．‎ 平分，由角平分线性质，可得 ‎，故．‎ 过点作的平行线交的延长线于，过点作的平行线交的延长线于，则 ‎．所以．‎ 从而，．‎ 又，，有．‎ 因此，，即有．‎ 故 ．‎ 注 由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题．‎ 例4 如图2-8，是的中线，在上，分别延长，交，于，，过作交于，及为正三角形．求证：为正三角形．‎ 证明 连，对及点应用塞瓦定理，有 ‎．而，则．‎ 由，由．‎ 于是，有，从而，即知四边形为平行四边形，有．‎ 又，则．‎ 而，，知，有，．于是 ‎．‎ 故为正三角形．‎ 例5 如图2-9，在一个中，，为内满足及的一点．求证：是的三等分线． （1994年香港代表队选拔赛题）‎ 证明 用表示的度量，令，则，，，（其中注意）， ．‎ 对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有 ‎．‎ 亦即 ．‎ 于是 ，‎ 即 ．‎ 而，则．‎ 因 ，则．‎ ‎ ，即．‎ 从而 ‎．‎ 故 ，即是的三等分线．‎ 利用第一角元形式的塞瓦定理可简捷处理2009年全国高中联赛加试第一题的第1问：‎ 例6 设、分别为锐角（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，联结并延长交圆于点．求证：．‎ 证明 事实上，易知、、及、、分别三点共线，对及点应用第一角元形式的塞瓦定理，有． ①‎ 由知，有．‎ 于是①式即为．‎ 故．‎ ‎2．注意塞瓦定理逆定理的应用以及与梅涅劳斯定理的配合应用 例7 如图2-10，在中，，为上给定的一点（不是线段的中点）．设为直线上与，都不相同的任意一点，并且直线，交于，直线，交于，直线，交于．试证明交点与在直线上的位置无关． ‎ ‎（1990年苏州市高中竞赛题）‎ 证明 设分线段为定比，分线段为定比．下证由确定，即当，给定后，点的位置由点唯一确定．‎ 在中，由，，交于一点，应用塞瓦定理，有 ‎，即．‎ 对及截线，应用梅涅劳斯定理，得 ‎，即．‎ 上述两式相加，得．‎ 从而，即，故由唯一确定．‎ 因此，点与在直线上的位置无关．‎ 例8 如图2-11，设为内任一点，在形内作射线，，，使得，，．求证：，，三线共点．‎ 证法1 设交于，交于，交于，则由正弦定理有 ‎．‎ 同理，,‎ ‎．‎ 将上述三式相乘，并应用正弦定理，有 ‎．‎ 由塞瓦定理的逆定理，知，，共点．‎ 证法2 设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．‎ 对及点，应用塞瓦定理，有 ．‎ 在和中应用正弦定理，有 ‎．‎ 同理，，．‎ 以上三式相乘，并注意到①式，有 ‎．‎ 由塞瓦定理的逆定理，知，，共点．‎ 证法3 设交于，交于，交于，直线交于，直线交于，直线交于．对及点，应用角元形式的塞瓦定理，有 ‎．‎ 由题设，，，则有，，．‎ 于是 ‎ ‎，‎ 对，应用角元形式的塞瓦定理的逆定理，知，，三线共点．‎ 例9 如图2-12，四边形内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，过点作该圆的两条切线，切点分别为和．求证：，，三点共线．‎ ‎（1997年试题）‎ 证明 连分别交，于，，设与交于．要证，，三点共线，只须证明，，和，，都三点共线，又只须证明，，三线共点．由塞瓦定理的逆定理知只须证明．‎ 又直线截，应用梅涅劳斯定理，有 ‎，从而只须证明．‎ 设圆心为，连交于，连，，，，则由切割线走理和射影定理，有，即知，，，四点共圆，有，此表明为的内角的外角平分线．而，则平分．于是，‎ ‎，结论获证．‎ ‎【解题思维策略分析】‎ ‎1．获得线段比例式的一种手段 例10 如图2-13，中，，分别为和同方向延长线上的点，与相交于 ‎，且．若点满足（为常数），则．‎ 证明 设交于，对及其形外一点，应用塞瓦定理，有．‎ 而，则．‎ 不妨设，则，即有，于是，故．‎ 此时，点到的距离不小于到的距离，则过作必交延长线于一点，设为．又作的外接圆交于另一点，则四边形为等腰梯形．当时，由，知必在线段上，于是，（同弧上的圆外角小于同弧上的圆周角）．‎ 又由，知．故结论获证．‎ ‎2．转化线段比例式的一座桥梁 例11 设为内任一点，，，分别交，，于，，．求证：．‎ 证明 如图2-14，记，，．对及点，应用塞瓦定理，有．‎ 对及截线，应用梅涅劳斯定理，有 ‎，即 ‎．‎ 由合比定理得，即．‎ 同理，，‎ ‎．‎ 三式相加，得．‎ 例12 如图2-15，设为内任意一点，，，的延长线交对边，，于点，，，交于．试证：．‎ 证明 令，，，对及点，应用塞瓦定理，有．‎ 对及截线，应用梅涅劳斯定理，有 ‎．注意到，则有 ‎，即，故．‎ 又对直线截，有．而，则，故．‎ 又对及截线，有，即有 ，故．‎ 从而 ‎．‎ 于是，．‎ 其中等号由中等号成立时成立，即当且仅当亦即当且仅当，亦即时取等号．此时，和之间成为如图2-16的双曲线的关系．‎ 例13 如图2-17，已知直线的三个定点依次为、、，为过、且圆心不在上的圆，分别过、两点且与圆相切的直线交于点，与圆交于点．证明：的平分线与的交点不依赖于圆的选取． （45预选题）‎ 证明 设的平分线交于点，交圆于点，其中与是不同的两点．‎ 由于是等腰三角形，则有．‎ 同理，在中，有．‎ 在中，视为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理，有．‎ 注意到，．‎ 则 ．‎ 即 ，故结论获证．‎ ‎3．求解三角形格点问题的统一方法 如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形的格点．‎ 例14 如图2-18，在中，，，和分别是和上的点，使得，，是直线和的交点．证明：直线和直线垂直．‎ ‎（1998年加拿大奥林匹克试题）‎ 证明 设，则，对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有 ‎．‎ 从而 ，即有 ‎．‎ ‎ ．‎ 注意到，知，，有 ‎，故．‎ 延长交于，则．故．‎ 注 此题也可这样来解：由，有 ‎．‎ 由于作为的函数在上严格递减，‎ 所以．故．因此，．‎ 或者过点作于，则，．‎ 关于有．所以，、、三线共点，因此点在上，即．‎ 例15 如图2-19，在内取一点，使得，．设，，求． （1983年前南斯拉夫奥林匹克试题）‎ 解 设，则．由第一角元形式的塞瓦定理，有 ．‎ 从而 ．‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 于是 ．‎ 注意到 ，知，．‎ ‎ ，故 ．‎ 所以 为所求．‎ 注 此题结果也可直接由①式有 且，，求得．‎ 另外，此题也可这样来解：由，有 ‎．‎ 因为作为的函数在（，）上严格递减，所以．故．‎ 或者由，令，则．对和点应用第一角元形式的塞瓦定理，有 ‎．‎ 则．‎ 因为作为的函数在上严格递增，所以．‎ 例16 如图2-20，具有下面性质：存在一个内部的点，使得，，，．证明：是等腰三角形．‎ ‎（1996年美国第25届奥林匹克试题）‎ 证明 设，则．由第一角元形式的塞瓦定理，有 ‎．‎ 即有 ．‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ．‎ 从而 且，，‎ 故，即，从而．‎ 注 此题也可这样来求解：由，‎ 有 ‎ ‎．‎ 因为作为的函数在（，）上严格递减，所以 ，即．故．‎ 还可对及点应用第一角元形式的塞瓦定理来求．‎ ‎4．论证直线共点的一种工具 例17 如图2-21，在四边形中，，，过，的交点引，，其中交，于，，交，于，．，分别交于，，则．‎ ‎（1990年CMO选拔试题）‎ 证明 在，上分别取，，使，，则由对称性可知有下列角相等，即若设，，，，，，则，又，故．又，故，．‎ 连交于，在中，‎ ‎．‎ 故由塞瓦定理的逆定理，知，，共点，即过点．由对称性知，．‎ 例18 如图2-22，在锐角中，以点引出的高为直径作圆交，于，，再从作．同样可作出，．试证：三直线，，相交于一点． （第29届预选题）‎ 证明 设与，分别相交于点，，由，，知，即．‎ 同理，设，边上的高，的垂足分别为，，且，分别与，交于，，则有 ‎，．‎ 由于的三条高相交于垂心，此时应用第一角元形式的塞瓦定理，得 ‎，‎ 用等角代换上式，有 ‎．‎ 故由第一角元形式的塞瓦定理，知，，三线共点，即，，相交于一点．‎ 例19 如图2-23，四边形内接于圆，，的延长线交于，，的延长线交于，为圆上任一点，，分别交圆于，．若对角线与相交于，求证：，，三点共线．‎ 证明 连，，，，，．由，，有，，此两式相乘，有． ①‎ 又由，，有 ‎，，‎ 此两式相乘，有 ．‎ 由①②，得 ．‎ 上式两边同乘以，得 ．‎ 对及截线，应用梅涅劳斯定理，有 ‎．‎ 于是 ．‎ 此时，应用第一角元形式的塞瓦定理的推论，知，，交于一点．从而，，三点共直线．‎ ‎【模拟实战】‎ 习题A ‎1．在中，是上的点，，是中点．与交于，交于，求四边形的面积与的面积的比．‎ ‎2．若通过各顶点的直线，，共点，并且它们在边，，所在直线上的截点，，关于所在边中点的对称点分别为，，，则直线，，也共点．‎ ‎3．一圆交的各边所在直线于两点，设边上的交点为，，边上的交点为，，边上的交点为，．若，，共点，则，，也共点．‎ ‎4．试证：过三角形顶点且平分三角形周长的三条直线共点．‎ ‎5．将各内角三等分，每两个角的相邻三等分线相交得，又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．‎ ‎6．将的各外角三等分，每两个外角的相邻三等分线相交得．又，，分别平分，，且它们与，，交于，，．求证：，，三线共点．‎ ‎7．是的内切圆，，，上的切点各是，，．射线交于，同样可得，．试证：直线，，共点．‎ ‎8．在内部，且从，，各向，，所作的垂线共点，则从，，各向，，所作的垂线也共点．‎ ‎9．在中，，为形内一点，，，求的度数．‎ ‎10．在中，，，为形内一点，且，求的度数．‎ ‎（《数学教学》问题432题）‎ ‎11．在中，，，为形内一点，，求的度数． （《数学教学》问题491题）‎ ‎12．在中，，，为的平分线上一点，使，交于，交于．求证：． （《数学教学》问题531题）‎ ‎13．在中，，，为形内一点，，，求的度数． （《数学通报》问题1023题）‎ ‎14．在中，，，为形内一点，且，，求的度数． （《数学通报》问题1142题）‎ ‎15．在中，，，为形内一点，，，求的度数． （《数学通报》问题1208题）‎ ‎16．中，，，为形内一点，，．求证：‎ ‎． （《数学通报》问题1306题）‎ ‎17．在中，，，为形内两点，， ．求证：，，三点共线． （《数学通报》问题1243题）‎ ‎18．中，，，为形内两点，， ．求证：． （《数学通报》问题1281题）‎ ‎19．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求的度数． （《数学通报》问题1073题）‎ ‎20．，，，，，顺次分别在的三边，，上，且，，‎ ‎，过，，分别作，，的平行线，，．求证：，，三线共点的充要条件是，，三线共点．‎ ‎21．在中，，于，过任作两射线分别交，于点，，交过点的平行线于，，且．求证：，，共点．‎ ‎22．在中，过三边，，边中的中点，，的三条等分三角形周长的直线，，（，，在三角形三边上）分别交，，于，，．求证：，，三线共点．‎ ‎23．的内切圆切，，于，，．是内一点，交内切圆于两点，其中靠近的一点为，类似定义，．试证：，，三线共点．‎ ‎24．在内部，的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，；的延长线分别交，于，，且满足 ．求证：，，所在直线共点．‎ ‎（《中学数学教学》擂台题（28））‎ ‎25．给定，延长边至，使．的外接圆与以为直径的圆相交于和．设与的延长线分别交和于，．求证：，，共线．‎ ‎（第15届伊朗奥林匹克题）‎ ‎26．在的边上向外作三个正方形，，，是正方形中的边，，对边的中点．求证：直线，，共点．‎ 习题B ‎1．是的内切圆，，，，分别是，，上的切点，，，都是 的直径．求证：直线，，共点． （《数学通报》问题1396题）‎ ‎2．四边形的内切圆分别与边，，，相切于，，，．求证：，，，四线共点． （《数学通报》问题1370题）‎ ‎3．锐角中，角的平分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类似．直线与，两角的外角平分线交于，点，与此类似．求证：（Ⅰ）三角形的面积是六边形的二倍；（Ⅱ）三角形的面积至少是三角形面积的四倍． （-30试题）‎ ‎4．设为内一点，使，是线段上的点，直线，分别交边，于，．求证：．‎ ‎5．在凸四边形中，对角线平分，是的延长线上的一点，交于点，延长交的延长线于．试证：．‎ ‎6．在中，，，为内心，为上一点，满足．试求的度数． （《数学通报》问题1073题）‎ ‎7．设是等边三角形，是其内部一点，线段，，依次交三边，，于，，三点．证明：． （-37预选题）‎ ‎8．在一条直线的一侧画一个半圆，，，是上两点，上过和的切线分别交于和，半圆的圆心在线段上，是线段和的交点，是上的点，．求证：平分． （-35预选题）‎ ‎9．设是锐角的内接正方形的中心，其中内接正方形的两个顶点在边上，一个顶点在边上，一个顶点在边上．同样定义两个顶点分别在边和边上的内接正方形的中心分别为，．证明：，，交于一点． （-42预选题）‎ ‎10．以的底边为直径作半圆，分别与，交于点，，分别过点，作的垂线，垂足依次为，，线段和交于点．求证：．‎ ‎（1996年国家队选拔考试题）‎ ‎11．设，是锐角的外接圆的圆心和垂心．证明：存在，，分别在线段，，上，使得，且此时，，三线交于一点．‎ ‎（-41预选题）‎ ‎12．已知是的直径，弦于，点和分别在线段和上，且∶∶，射线，交于，．求证：，，三线共点．‎ ‎13．设是的内心，以为圆心的一个圆分别交于，，交于，，交于，．这六个点在圆上的顺序为，，，，，．设，，为弧，，的中点，直线，相交于，直线，相交于，直线，相交于．求证：直线，，三线共点．‎ ‎14．在的边和上分别向形外作和，使，且 ‎ ‎．求证：连线，与边上的高三线共点．‎ ‎15．过非等边三角形各顶点作其外接圆的切线，则各切线与其对边的交点共线．‎ ‎16．在内三点，，满足，，则，，三线共点的充要条件是．‎ ‎17．在任意的三边，，上各有点，，，而是内部任一点，直线，，分别交线段，，于，，．求证：直线，，共点的充分必要条件是，，共点，而与点的位置无关．‎ ‎18．设是平面上区域内任一点，，，的延长线交三边于，，．求证：在区域内，存在一个以的某两边为邻边的平行四边形．‎ ‎19．设凸四边形的两组对边所在的直线，分别交于，两点，两对角线的交点为，过点作于．求证：． （2002国家集训队选拔试题）‎ ‎20．在中，和均为锐角．是边上的内点，且平分，过点作垂线于，于，与相交于．求证：．‎