第4章 斯特瓦尔特定理及应用.doc

第四章 特瓦尔特定理及应用 ‎【基础知识】‎ 斯特瓦尔特定理 设为的边上任一点（，），则有 ‎ ①‎ 或 ． ②‎ 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设，则由余弦定理，有 ‎，‎ ‎．‎ 对上述两式分别乘以，后相加整理，得①式或②式．‎ 斯特瓦尔特定理的逆定理 设，，依次分别为从点引出的三条射线，，上的点，若 ‎，‎ 或 ，‎ 则，，三点共线．‎ 证明 令，，对和分别应用余弦定理，有 ‎，．‎ 将上述两式分别乘以，后相加，再与已知条件式相比较得 ‎，由此推出，即证．‎ 斯特瓦尔特定理的推广 （1）设为的边延长线上任一点，则 ‎． ③‎ ‎（2）设为的边反向延长线上任一点，则 ‎． ④‎ 注 若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．‎ 推论1 设为等腰的底边上任一点，则．‎ 注 此推论也可视为以为圆心，为半径的圆中的圆幂定理．‎ 推论2 设为的边上的中线，则．‎ 推论3 设为的的内角平分线，则．‎ 推论4 设为的的外角平分线，则．‎ 推论5 在中，若分线段满足，则 ‎．‎ 注 若，则．‎ ‎【典型例题与基本方法】‎ ‎1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．‎ 例1 如图4-2，凸四边形中，，，，，对角线，交于点．求． （1996年北京中学生竞赛题）‎ 解 延长，相交于，设，则，，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有 ‎．‎ 由，有，即，求得 ．‎ 于是，．又在中，，从而 ‎ ‎．‎ 而，‎ 故 ，即为所求．‎ 例2 如图4-3，在中，，，点是外心，两条高，交于点，点，分别在线段，上，且满足，求的值．‎ ‎（2002年全国高中联赛题）‎ 解 延长交于，由三角形垂心性质，知为关于的对称点，则．‎ 设的半径为，，，，由，知．延长两端交于，，如图4-3，由相交弦寇理有，即，即．‎ 在及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，并注意到 ，可得 ‎，‎ 即 ，‎ 亦即 ．‎ 于是，有．‎ 亦即 ，即 ．‎ 而当时，，‎ 故 为所求．‎ ‎2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 例3 如图4-4，自外一点引圆的两条切线，，，为切点，过点任意引圆的割线交于，，交于．证明：． （2001年湖南中学生夏令营试题）‎ 证明 由相交弦定理，有．‎ 由于，对等腰及底边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有 ，即有 ‎．‎ 而，从而．‎ 故 ．‎ 注 此例结论表示线段是线段，的调和平均．这个结论亦即为点、调和分割弦．‎ 例4 如图4-5，设在中，，平分，且交于，在上有一点，使．求证：． （1979年江苏省竞赛题）‎ 证明 对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有 ‎．‎ 由平分，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有 ，从而 ‎． ①‎ 因，有，即．‎ 由角平分线的性质，有 ，‎ 即 ．‎ 从而，由①式，有．‎ 例5 凸多边形外切于，两组对边所在的直线分别交于点、，对角线交于点．求证：． （《中等数学》奥林匹克题高中251题）‎ 证明 如图4-6，设与边、、、分别切于点、、、，则由牛顿定理知，、、、四线共点于．由切线长定理，知．‎ 由推论1，有． ①‎ 同理，． ②‎ 联结、、，令的半径为，则 ‎． ③‎ 又由相交弦定理，有． ④‎ 于是，由①、②、③、④有．‎ 由定差幂线定理，知．‎ 注 （1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点．‎ ‎（2）定差幂线定理 设、是两条线段，则的充要条件为．‎ 此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：‎ 由 ‎．‎ 知 ．‎ 故 ．‎ 例6 已知、分剔是的边、的中点，、是边、上的高，联结、交于点．又设、分别是的外心、垂心，联结、．求证：．‎ ‎（2005年国家队集训题）‎ 证明 如图4-7，联结、．设、分别为、的中点，则，，即知点在线段的中重线上，应用推论1，有 ‎．‎ 注意到为中位线，在的中垂线上，由此知也在的中垂线上，应用推论1，有 ‎．‎ 再注意到，知、、、四点共圆，并由直角三角形性质，有 ‎． ③‎ 及 ‎、． ④‎ 由①、②、③、④得．由定差幂线定理，．‎ 而，故．‎ 注 此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15．‎ 例7 设是的边上一点，满足，经过、两点，并分别与、交于、两点，、交于点，联结、，取的中点．求证：．‎ 证明 如图4-8，在的延长线上取点，使得（即、、、四点共圆），则由知、、、也四点共圆．于是 ，知、、、四点共圆，即有．‎ 联结、、，并令半径为，则对、分别应用推论1，有 ‎． ①‎ ‎． ②‎ 联结，由三角形中线长公式，并注意①、②，有 ‎． ③‎ 联结、，对应用推论1，有．‎ 又由，有，即有． ④‎ 注 即为完全四边形的密克尔点，由③、④有．由定差幂线定理，知 ．‎ ‎3．注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理 斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理．‎ 证明 如图4-9，在中，点在上，由斯特瓦尔特定理，有 ‎．‎ 延长交的外接圆于，连，，由和，有 ，．‎ 又由相交弦定理，有．‎ 于是，得，‎ 即 ，‎ 亦即 ．即为托勒密定理．‎ 由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理．‎ 证明 如图4-10，设圆内接四边形的对角线，交于．由托勒密定理，有 ‎．‎ 即 ．‎ 由和，有，．由相交弦定理，有 ‎．将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理．‎ 因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理．反之亦然．‎ 例8 若的三边为连续整数，且最大角是最小角的两倍，求三角形的三边长．‎ ‎（-10试题）‎ 解法1 作的平分线（图略），则，令，，则 ‎，，．‎ 由斯特瓦尔特定理的推论3，有，即，又，即 ，有．‎ 故由，求得（舍去），即，，．‎ 解法2 作的外接圆，取的中点，连，，，则为梯形，其中．令，则，，且，．对四边形应用托勒密定理，有，求得．（下略）‎ ‎【解题思维策略分析】‎ ‎1．获得线段倍分关系的一条途径 例9 如图4-11，已知的外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，另一个圆与边，分别切于点，，且与圆内切．求证：内心是线段的中点．‎ ‎（-34预选题）‎ 证明 设圆的圆心为，半径为，于是，，三点共线，且，，则，且．‎ 于是，．‎ 连，，，对，及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有 ‎ ①‎ 注意到欧拉公式，，及，，并将其代入①式，得到 ‎，‎ 化简得 ．‎ 从而 ，‎ 即 ． ②‎ 因为，且平分，令的中点为，由射影定理，有 ‎． ③‎ 比较③式和②式，知与重合，即得为的中点．‎ 例10 如图4-12，两个大圆，相等且相交；两个小圆，不相等但相交，且交点为，．若，既同时与内切，又同时与外切．试证：直线平分线段．‎ ‎（《中等数学》奥林匹克问题高中58题）‎ 证明 由于，半径不相等，此两圆交点所在直线必与线段相交，设交点为．连，，，，，，，，，显然，设垂足为，又设，‎ 的半径均是，，的半径分别为，，则易得，，，，‎ 因为，或，垂足为，则 ‎．‎ 设，，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有 ‎． ①‎ 对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理，有 ‎． ②‎ ‎①②，得 ‎，‎ 即 ，‎ 亦即 ．‎ 因，，从而，即．‎ 故，即直线平分线段．‎ ‎2．求解三角形问题的一种工具 斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题A中的第6题，习题B中的第7题等可以看出．在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用．‎ 例11 设的三边为，，，其面积为，则，当且仅当为正三角形时，等式成立． （-3试题）‎ 证明 取的中点，对及边上的点，应用斯特瓦尔特定理的推论2，‎ 有 ．‎ 从而有．‎ 设的边上的高为，则，于是 ‎．‎ 故，其中等号当且仅当且时成立，也即且，此时恰为正三角形．‎ 例12 如图4-13，在中，，分别为和同方向延长线上的点，与相交于，且．当在边的中线上时，则．‎ 证明 设交于．分别对及点和及点应用斯特瓦尔特定理的推广结论，有 ‎，‎ ‎．‎ 于是．‎ 由于，对及点应用塞瓦定理，有 ‎，即．‎ 当点在边上的中线上时，有．‎ 从而，由此知，故．‎ 例13 如图4-14，若是的边延长线上一点，则平分的外角的充分必要条件是．‎ 证明 必要性：若平分的外角，则由推论4即有 ‎．‎ 或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导．‎ 充分性：设直线交的外接圆于，连、．‎ 由割线定理有，并将其代入条件式可得 ‎．‎ 由此可知必在的延长线上（因）．‎ 于是． ①‎ 由，有． ②‎ 由①②得 ． ③‎ 又由，有． ④‎ 由①④得，． ⑤‎ 由③⑤得，．‎ 对四边形应用托勒密定理，有 ‎．‎ 于是．‎ 即，从而．‎ 因此．‎ 故平分的外角．‎ 例14 如图4-15，设正的内切圆圆心为，半径为，在内任取一点，设点到，，的距离分别为，，．求证：以，，为边可以构成一个三 角形，且其面积为． （《数学通报》问题1356题）‎ 证明 设正三角形的边长为1，则 ‎，．‎ 连并延长交于，则由题设知 ‎，‎ ‎．‎ 由于，，对及边上的点，对及边上的点，均应用斯特瓦尔特定理的推论1，有 ‎．‎ 又由，知，．‎ 于是，． ①‎ 又对及边上的点应用斯特瓦尔特定理，有 ‎．‎ 由，知，．‎ 将上述各式及①式代入②式，并注意，，，有 ‎．‎ 即 ．‎ 于是，‎ ‎．‎ 此式可写成为 ‎ ‎． ③‎ 由于点在内部，则，从而，必有 ‎，，．如若不然，比如，，则，即与已知矛盾，则知，，．‎ 可见，以，，为边可以构成三角形，且由海伦—秦九韶公式及③式知其面积为．‎ ‎【模拟实战】‎ 习题A ‎1．在中，，边有100个不同的点，，…，，记（1，2，…，100），求的值．‎ ‎2．在中，的平分线交于．证明：．（匈牙利中学生数学竞赛题）‎ ‎3．在中，是边上的点，已知，，，，求．‎ ‎4．在中，，，，设为边上任一点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．与的大小关系不确定 ‎5．是的边上的一点，且，，，求证：是的外接圆的切线．‎ ‎6．设的三边，，，．设，分别为边上的中线长和高线长；，分别为边所对的角的内、外角平分线长．求证下列各式：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）；‎ ‎（Ⅳ）．‎ ‎7．在中，，，求证：是直角三角形．‎ ‎8．证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心．‎ 习题B ‎1．设，，分别是共线的三点，，对于所作切线的长．求证： ．‎ ‎2．锐角的外接圆过，的切线相交于，点是的中点．求证： ．‎ ‎（-26预选题）‎ ‎3．和是的割线，分别交于，，且，过的直线交于，（在与之间），交，于，．求证．‎ ‎4．，，，四点在同一圆周上，且，，线段和的长都是整数，求的长．‎ ‎5．在正方形中，在上，，，点在上，则和的长度之和最小可达到多少？‎ ‎6．设凸四边形的边长是，，，，对角线长是和．求证：，当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立．‎ ‎7．设，，，分别为的内心，外心，重心，垂心，令，，，，，分别为外接圆和内切圆的半径．求证下列各式：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎；‎ ‎（Ⅳ）．‎ ‎8．已知满足，设是边上一点，且．延长线段至，使．证明：． （-39预选题）‎