第五章 张角定理及应用
习题A
1．延长交延长线于，过作交延长线于，则，．以为视点，对，，应用张角定理，有，即．又在中，，．于是，求得．
2．显然是的平分线，以为视点，对，，和，，分别应用张角定理的推论，有，．注意到，，则，
，故．
3．过作的平行线交于，交于，则，，以为视点，对，，应用张角处理，有，即．而，，即有．又以为视点，对，，应用张角定理，有．
由上面得到的两式相加，得即证．
4．令，，以为视点，分别对，，及，，应用张角定理，有
，．
上述两式相除，有． ①
在和中，由正弦定理，有，，又，有，从而由①式即得．
5．令，以为视点，分别对，，及，，三点，应用张角定理的推论，有，．上述两式相减，有．由此即证．
6．以为视点，分别对和应用张角定理，有，
．注意到上述两式变为
，，由此解得．
7．设交于，交于，由蝴蝶定理知，以为视点，分别对和应用张角定理，有，，即，亦即．而，即．由此即证．
8．设，则．考虑，对的视角，令，．
在中应用正弦定理，有，，，从而．
．
故．由张角定理，知，，三点共线．
习题B
1．令，，，，，，，，，以为视点，分别对，，；，，；，，；，，应用张角定理，有，①，②，③
，④ 由①+②-③-④，得，即．即证．
2．以为视点，对，，应用张角定理的推论，有（因）．
以为视点，对，，应用张角定理的推论，有．将此式代入前式，得．又由，知，而，则，又在为减函数，则，于是有．
3．设，中点，且，，，三点共线．又设，由，知，于是，
，即有，故由张角定理，知，，三顶共线．
4．设的延长线分别与，交于，，连，，．由，有．又，知，有，则，，，共圆，可推知，故．同理，．令，则，有
．
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