《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 巩固练习.doc

‎《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 巩固练习 ‎【巩固练习】‎ 一、选择题 1. 计算cot30°+2sin45°－2cos30°的结果是( )．‎ ‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎2．如图所示，△ABC中，AC＝5，，，则△ABC的面积是( )‎ A． B．‎12 C．14 D．21‎ ‎3．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△，‎ 则tan的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第2题图 第3题图 第4题图 ‎4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测 得∠BCD＝60°，又测得AC＝‎50米，那么小岛B到公路的距离为( )．‎ ‎ A．‎25米 B．米 C．米 D．米 ‎5．《九章算术》上有这样一个问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远.问原处还有多高的竹子？（ ）‎ A.3.5‎尺 B.4尺 C. 4.55尺 D.5尺 ‎6．如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为( )．‎ ‎ A．15° B．20° C．30° D．45°‎ ‎ ‎ ‎ 第6题图 第7题图 ‎7．如图所示，在高为‎2m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．‎ A．‎4m B．‎6m C．m D．‎ ‎8．（2014•连云港）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（　　）‎ ‎　 A．S1=S2 B． S1=S2 C． S1=S2 D． S1=S2‎ 二、填空题 ‎9. 等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是　 .‎ ‎10.如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为 ；CD的长为 . 　 　　　　　　 ‎ ‎ 第10题图 第11题图 ‎11．如图所示，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则________．‎ ‎12．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值 为________．‎ ‎13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行‎100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为　 　米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）‎ ‎14. 在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝________．‎ ‎15. 两条宽度为1的纸条，交叉重叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分的面积为__________． ‎ ‎ ‎ ‎16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)∠CDE的正切值为 .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．（2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=‎3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？‎ ‎18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围‎200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走‎600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．‎ ‎ (1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：≈1.732)‎ ‎ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?‎ ‎ ‎ ‎19. 如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，请你设计一种方案，不用计算器求出tan15°及cot15°的值.‎ ‎20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．‎ ‎ (1)求点D到BC的距离DH的长；‎ ‎ (2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；‎ ‎ (3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【答案与解析】‎ 一、选择题 1.【答案】C；‎ ‎【解析】cot30°+2sin 45°－2cos 30°＝． ‎ ‎2.【答案】A；‎ ‎【解析】过A作AD⊥BC于D，因为，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为，‎ 所以，∴ BD＝AD＝3，所以，所以BC＝BD+DC＝7，‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎3.【答案】B；‎ ‎【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tan B′＝tanB＝．‎ ‎4.【答案】B；‎ ‎【解析】依题意知BC＝AC＝‎50米，小岛B到公路的距离，就是过B作的垂线，即是图中BE的长，‎ 在Rt△BCE中，，BE＝BC·sin 60°＝50×(米)，因此选B．‎ ‎5.【答案】C；‎ ‎【解析】设原处还有竹子的高度为x尺，则折断部分长为（10-x）尺.‎ ‎ 由题意，‎ ‎ 解得，x=4.55‎ ‎ ∴原处还有竹子的高度为4.55尺.‎ ‎6.【答案】C；‎ ‎【解析】，∴ ． ‎ ‎7．【答案】D；‎ ‎【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为‎2 m，宽为(m)，‎ 则地毯的总长至少为m．‎ ‎8．【答案】C；‎ ‎【解析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．‎ 在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，‎ ‎∠DEH=180°﹣140°=40°，‎ 在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，‎ S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，‎ S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．‎ 则S1=S2．‎ 故选：C．‎ 二、填空题 ‎9．【答案】；‎ ‎10．【答案】5+10；10+5‎ ‎【解析】过B点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF. 　　　　　 ∵在Rt△AEB中，∠A=30°‎ ‎，AB=10， 　　　　　 ∴AE=AB·cos30°=10×=5， 　　　　　 BE=AB·sin30°=10×=5. 　　　　　 又∵在Rt△BFC中，∠C=30°，BC=20， ‎ ‎ ∴BF=BC=×20=10， 　　　　　 CF=BC·cos30°=20×=10. 　　　　　 ∴AD=AE+ED=5+10， 　　　　　 CD=CF+FD=10+5.‎ ‎11．【答案】；‎ ‎【解析】设AB边与直线的交点为E，∵ ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是1，‎ 则E为AB的中点，在Rt△AED中，∠ADE＝α，AD＝2AE．设AE＝k，则AD＝2k，．‎ ‎∴ ．‎ ‎12．【答案】或； ‎ ‎【解析】由得x1＝1，x2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A＝；‎ ‎②当3为斜边时，则另一直角边为．∴．‎ ‎13．【答案】137　；‎ ‎ 【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=‎100m，‎ 设AD=xm，‎ 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，‎ ‎∴CD=AD=x，‎ ‎∴BD=BC+CD=x+100，‎ 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，‎ ‎∴x=（x+100），‎ ‎∴x=50（+1）≈137，‎ 即山高AD为‎137米．‎ ‎14．【答案】或；‎ ‎【解析】因△ABC的形状不是唯一的，‎ ‎①当△ABC是锐角三角形时，如图所示，作AH⊥BC于H，‎ 在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝，‎ 在Rt△AHC中，HC＝．∴BC＝．‎ ‎②当△ABC是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC＝．‎ ‎15．【答案】；‎ ‎ 【解析】如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，‎ ‎ 依题意，有AE=AF=1， 根据已知得∠ABE=∠ADF=α， ∴△ABE≌△ADF， ∴‎ AB=AD， 则四边形ABCD是菱形． 在Rt△ADF中，AD==． ∴菱形ABCD的面积为：DC•AF=×1=.‎ ‎16．【答案】（1）BE=5；（2）tan∠CDE=‎ ‎【解析】（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE. 　　　　　 又∵在△BDE中，∠DBE=45°， 　　　　　 ∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE⊥BC. 　　　　　 ∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8， 　　　　　 ∴EC=(BC-AD)=3，BE=5. 　　　 　(2)由(1)得DE=BE=5， 　　　　　 在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3， 　　　　　 ∴tan∠CDE==.‎ 三、解答题 ‎17． 【解析】‎ 解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，‎ 在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得：‎ DE=x，则根据勾股定理得：‎ x2+=，‎ 得x=，（﹣不合题意舍去），‎ 所以，CE=米，则，ED=米，‎ 那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，‎ 在Rt△AFD中，由三角函数得：‎ ‎=tan∠ADF，‎ ‎∴AF=FD•tan60°=×=米，‎ ‎∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=‎4‎米，‎ 答：小树AB的高是‎4米．‎ ‎18.【解析】‎ ‎ (1)过C点作CH⊥AB于H．设CH⊥AB．‎ ‎ 由已知有∠EAC＝45°，∠FBC＝60°，‎ 则∠CAH＝45°，∠CBA＝30°．‎ 在Rt△ACH中，AH＝CH＝x，‎ 在Rt△HBC中，tan∠HBC＝．‎ ‎∴，‎ ‎∵AH+HB＝AB，∴，‎ 解得≈220(米)＞200(米)．‎ ‎∴MN不会穿过森林保护区．‎ ‎(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要(y-5)天．‎ 根据题意得：，解得：y＝25．‎ 经检验知：y＝25是原方程的根．‎ 答：原计划完成这项工程需要25天．‎ ‎19.【解析】‎ ‎ 解：如图，延长CB至D，使得BD=AB，∵∠B=30°，∴∠D=30°2=15°，‎ ‎ 设AC=a，‎ ‎∵∠C=90°，∠B=30°，‎ ‎∴AB=‎2a=BD，BC=a，‎ ‎ 在Rt△ACD中，tan∠D=tan15°=.‎ ‎ 同理，cot15°=.‎ ‎ ‎ ‎20.【解析】‎ ‎(1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10．‎ ‎∵点D为AB中点，∴ BD＝AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．‎ ‎∴△BHD∽△BAC，∴，∴．‎ ‎(2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC，‎ ‎∴，∴，‎ 即y关于x的函数关系式为：．‎ ‎(3)存在，分三种情况：‎ ‎①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，如图所示，则QM＝RM．‎ ‎∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C．‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴ ，∴．‎ ‎②当PQ＝RQ时，如图所示，则有，∴x＝6．‎ ‎③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示．‎ 于是点R为EC的中点，∴．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．‎