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第29章 投影与视图 专项训练
专训1 平行投影、中心投影、正投影间的关系
名师点金：
1．平行投影的投影线是平行的，在同一时刻物体的影长与物高成正比；中心投影的投影线相交于一点，在同一时刻物体的影长与物高不一定成正比．
2．平行投影在同一时刻的影子总在同一方向；中心投影在同一时刻的影子不一定在同一方向．
3．正投影是投影线垂直于投影面的平行投影．
利用平行投影与中心投影的定义判断投影
1．如图，下列判断正确的是( )
(第1题)
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
2．如图，下面是北半球一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是( )
(第2题)
A．③④②① B．②④③①
C．③④①② D．③①②④
利用平行投影与中心投影的特征作图
3．如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子．(用线段表示)
(第3题)
4．图①②分别是两棵树及其影子的情形．
(第4题)
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(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2)你是用什么方法判断的？
(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．
正投影的识别与画法
5．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是( )
(第5题)
6．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝EF，如图所示．若正方体的面ABCD平行于投影面P，且垂直于投影面Q，画出这个物体在两个投影面上的正投影．
(第6题)
专训2 投影规律在实际问题中的应用
名师点金：
用光线照射物体，在某个平面(地面、墙等)上得到的影子叫物体的投影．投影有两种类型：平行投影和中心投影．平行投影的特征是投影线平行，中心投影的特征是投影线相交于一点．在解答与投影有关的实际问题时，往往与相似三角形、直角三角形的性质密切相关，要注意构造相似三角形或直角三角形．
平行投影的实际应用
投影线不受限时的测量
1．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图③，测得校园景灯(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长HQ为90 cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长为50 cm，未被照射到的部分KP长为32 cm.
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(第1题)
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径MK的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
投影线在特定条件时的测量
2．如图，有甲、乙两座办公楼，两幢楼都为10层，由地面上依次为1层至10层，每层的高度均为3 m，两楼之间的距离为30 m．为了了解太阳光与水平线的夹角为30°时，甲楼对乙楼采光的影响情况，请你求出甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第几层．
(第2题)
中心投影的实际应用
3．如图，一位同学身高1.6 m，晚上站在路灯下A处，他在地面上的影长AB是2 m，若他沿着影长的方向移动2 m站在B处时，影长增加了0.5 m，求路灯的高度．
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(第3题)
答案
1．B 点拨：图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比，是在阳光下的影子．
2．C
3．解：如图，过树和影子的顶端分别画两条光线AA1，BB1.观察可知，AA1∥BB1，故两棵树的影子是在太阳光下形成的．
(第3题)
过旗杆的顶端C画AA1(或BB1)的平行线CC1，交地面于点C1，连接旗杆底端O和点C1，则线段OC1即为同一时刻旗杆的影子．
点拨：根据物体和投影之间的关系可以判断是平行投影，然后根据平行投影的特征即可完成题中的要求．
4．解：(1)题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形．
(2)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形．
(3)路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为AB；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为CD.
(第4题)
误区诊断：平行投影和中心投影对应的
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光线是不同的，形成平行投影的光源发出的光线是平行光线，而形成中心投影的光源发出的光线交于一点；同一时刻，平行投影下的影子的方向总是在同一方向，而中心投影下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向．
5．C 点拨：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，故选C.
6．解：画出的正投影如图所示．正方体、金属丝在投影面P上的正投影是正方形A1B1C1D1及线段E1F1；在投影面Q上的正投影是正方形C2D2G2H2.
(第6题)
点拨：当物体的某个面(或某条边)与投影面平行时，这个面(或这条边)的正投影和这个面(或这条边)相同；当物体的某个面(或某条边)与投影面垂直时，这个面(或这条边)的正投影是一条线段(或一个点)．
1．解：(1)根据平行投影的性质，得Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴＝，即＝.
解得DE＝1 200 cm＝12 m．即学校旗杆的高度为12 m.
(2)①根据题意可知，
Rt△GPH∽Rt△KPM∽Rt△ABC，
∴＝＝，即＝＝.
解得GH＝37.5 (cm)，MK＝24 (cm)．
即灯罩底面半径MK的长为24 cm.
②∵
∴Rt△KPM≌Rt△K′LN.∴LK′＝KP＝32 cm.
∵Rt△ABC∽Rt△GLQ，∴＝，
即＝.
解得KK′＝56 cm.
∴从正面看灯罩得到的图形面积为24×2×56＝2 688(cm2)，
从上面看灯罩得到的图形面积为π×242＝576π(cm2)．
2．解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，则∠BEF＝30°，设EC＝h m.
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在Rt△BFE中，EF＝AC＝30 m，AB＝10×3＝30(m)，
所以BF＝AB－AF＝AB－EC＝(30－h)m.
因为∠BEF＝30°，所以BE＝(60－2h)m.
由勾股定理得，BF2＋EF2＝BE2，
所以(30－h)2＋302＝(60－2h)2.
解得h≈12.68.(h≈47.32不合题意，舍去)
因为4＜＜5，
所以甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第五层．
方法点拨：这道题是平行投影在实际生活中的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
3．解：设路灯高为x m.
由题意知，当人在A点时，影长AB＝2 m；当人在B点时，影长BC＝(2＋0.5)m.
易知＝，＝，则解得
即路灯的高度为8 m.
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