2017人教版九年级下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第28章 锐角三角函数 专项训练 专训1　求锐角三角函数值的常用方法 名师点金：‎ 锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．‎ 直接用锐角三角函数的定义 ‎1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，‎ ‎(第1题)‎ 则tan B的值是(　　)‎ A. 　　　B. C. 　　　D. ‎2．如图，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝，求sin C的值．‎ ‎(第2题)‎ ‎3．如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.‎ ‎(1)求点B的坐标；‎ ‎(2)求sin∠BAO的值．‎ ‎(第3题)‎ 利用同角或互余两角三角函数间的关系 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A＝(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎5．若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．‎ 巧设参数 ‎7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则tan B的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值． ‎ 利用等角来替换 ‎9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．‎ ‎(第9题)‎ 专训2　同角或互余两角的三角函数关系的应用 名师点金：‎ ‎1．同角三角函数关系：sin2 α＋cos2α＝1，tan α＝.‎ ‎2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1.‎ 同角间的三角函数的应用 ‎1．已知＝4，求的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2．若α为锐角，sin α－cos α＝，求sin α＋cos α的值．‎ 余角间的三角函数的应用 ‎3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是(　　)‎ A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)‎ B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1‎ C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1‎ D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1‎ ‎4．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．‎ 同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用 ‎5．已知sin α·cos α＝(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.‎ ‎6．已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求的值．‎ 专训3　用三角函数解与圆有关问题 名师点金：‎ 用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．‎ 一、选择题 ‎1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sin B＝(　　)‎ A. B. C. D. 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第1题)‎ ‎　　　‎ ‎(第2题)‎ ‎2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为(　　)‎ A．1 B. C．3 D. ‎3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝.⊙O过B，C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为(　　)‎ A．3或5 B．5 C．4或5 D．4‎ ‎4．如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°.下列四个结论：‎ ‎(第4题)‎ ‎①OA⊥BC；‎ ‎②BC＝6 cm；‎ ‎③sin∠AOB＝；‎ ‎④四边形ABOC是菱形．‎ 其中正确结论的序号是(　　)‎ A．①③　B．①②③④　C．②③④　D．①③④‎ 二、填空题 ‎5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.‎ ‎(第5题)‎ ‎　　　‎ ‎(第6题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.‎ ‎7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos C的值为________．‎ ‎(第7题)‎ ‎　　　‎ ‎(第8题)‎ ‎8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.‎ 三、解答题 ‎9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tan B＝，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到.‎ ‎(1)求证：AB为⊙C的切线；‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积．‎ ‎(第9题)‎ ‎10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.‎ ‎(1)求证：AT是⊙O的切线；‎ ‎(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．‎ ‎(第10题)‎ ‎11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.‎ ‎(1)求证：DC＝DE；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长．‎ ‎(第11题)‎ ‎12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.‎ ‎(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．‎ ‎(第12题)‎ ‎13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝.‎ 求证：CB是⊙O的切线．‎ ‎(第13题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 ‎1．C ‎2．解：∵AD⊥BC，∴tan ∠BAD＝.‎ ‎∵tan ∠BAD＝，AD＝12，∴＝，∴BD＝9.‎ ‎∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，‎ ‎∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，‎ ‎∴sin C＝＝.‎ ‎3．解：(1)解方程组得 ‎∴点B的坐标为(1，2)．‎ ‎(第3题)‎ ‎(2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C，由x＋＝0，解得x＝－3，‎ 则A(－3，0)，∴OA＝3，‎ ‎∴AB＝＝2，‎ ‎∴sin ∠BAC＝＝＝，‎ 即sin ∠BAO＝.‎ ‎4．D　5.B　6.30°　7.B ‎8．解：∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，‎ 即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形．‎ ‎∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，‎ 则＝，设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.‎ ‎∴sin A＋sin B＝＋＝.‎ ‎9．解：∵CD是斜边AB的中线，‎ ‎∴CD＝AD＝BD.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠DCB＝∠B.‎ ‎∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，‎ ‎∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.‎ 在Rt△ACH中，AH＝2CH，‎ ‎∴AC＝CH.∴sin B＝sin ∠CAH＝＝.‎ ‎1．分析：本题可利用求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A，把原式化为关于的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由＝4，得到sin A与cos A之间的数量关系，代入式子中求值．‎ 解：(方法1)原式＝＝.‎ ‎∵＝4，∴原式＝＝.‎ ‎(方法2)∵＝4，∴sin A＝4cos A.‎ ‎∴原式＝＝＝.‎ ‎2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．‎ 解：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝，‎ 即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝.‎ ‎∴1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.‎ ‎∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋＝.‎ 又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.‎ ‎∴sin α＋cos α＝.‎ ‎3．C　点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1.‎ ‎4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.‎ 点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.‎ ‎5．解：∵sin2α＋cos2α＝1，sin α·cos α＝，‎ ‎∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝.‎ ‎∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝.‎ 又∵sin α·cos α＝， ‎ ‎∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x2－x＋＝0.‎ 点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0‎ ‎6．解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，‎ ‎∴由求根公式，得 sin α＝＝.‎ ‎∴sin α＝或sin α＝3(不符合题意，舍去)．‎ ‎∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－＝.‎ 又∵cos α＞0，∴cos α＝.‎ ‎∴＝＝‎ ＝|sin α－cos α|＝＝.‎ 一、1.D ‎2．D　点拨：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠B＝∠ACD.∴cos B＝＝，∴AB＝.∴AC＝＝.‎ ‎3．A　4.B 二、5.　6.　7.　8. 三、‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第9题)‎ ‎9．(1)证明：如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tan B＝＝，∴BC＝2AC＝2.∴AB＝＝＝5，∴CF＝＝＝2.∴AB为⊙C的切线．‎ ‎(2)解：S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝AC·BC－＝××2－＝5－π.‎ ‎10．(1)证明：∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线．‎ ‎(2)解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠TAC＝∠ACD，tan ∠TOA＝＝＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝x＝OA.∵AD＝AO－OD＝(－1)x，∴tan ∠TAC＝tan ∠ACD＝＝＝.‎ ‎(第10题)‎ ‎　　　‎ ‎(第11题)‎ ‎11．(1)证明：连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°.‎ 又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE.‎ ‎(2)解：设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x.在Rt△EAD中，∵tan ∠CAB＝，∴ED＝AD＝(3＋x)．由(1)知，DC＝(3＋x)．在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋＝(1.5＋x)2，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1.‎ ‎12．解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：连接AE，如图，‎ ‎∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，‎ ‎∴BE＝CE＝BC＝×12＝6.‎ 在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8.‎ ‎∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴S△ABC＝AE·BC＝BD·AC，∴BD＝＝.‎ 在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，‎ ‎∴AD＝＝，∴sin ∠ABD＝＝＝.‎ ‎(第12题)‎ ‎　　　‎ ‎(第13题)‎ ‎13．证明：如图，连接OD，可得OB＝OD.‎ ‎∵AB＝AD，∴AE垂直平分BD.‎ 在Rt△BOE中，OB＝3，cos ∠BOE＝，∴OE＝.‎ ‎∴CE＝OC－OE＝.‎ 根据勾股定理得BE＝＝.‎ 在Rt△CEB中，BC＝＝4.‎ ‎∵OB＝3，BC＝4，OC＝5，∴OB2＋BC2＝OC2，‎ ‎∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴CB为⊙O的切线．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费