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章末复习(三) 圆
01 基础题
知识点1 圆的有关概念
1．下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．30°
知识点2 圆的对称性
3．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A．等边三角形 B．平行四边形
C．圆 D．正五边形
4．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若∠DOE＝40°的弧，则∠BOC＝( )
A．110°
B．80°
C．40°
D．70°
知识点3 垂径定理
5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝30°，CD＝6，则圆的半径长为( )
A．2 B．2 C．4 D.
6．(六盘水中考)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝____________米．
知识点4 圆心角与圆周角定理
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7．如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝( )
A．80° B．70°
C．60° D．40°
8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD＝53°，则∠BCD为()
A．37° B．47°
C．45° D．53°
9．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC.求证：DB＝DC.
知识点5 三角形的外接圆与内切圆
10．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝62°，则∠BOC＝( )
A．59°
B．31°
C．124°
D．121°
11．已知等腰三角形ABC，如图．
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
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(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
知识点6 点、直线与圆的位置关系
12．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内
B．点P的⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或⊙O外
13．同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30 cm，手柄长40 cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50 cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
知识点7 切线的性质与判定
14．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D.若∠D＝40°，则∠A的度数为( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
15．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于D、C.已知△PCD的周长等于14 cm，则PA＝____________cm.
16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
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(2)若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长．
知识点8 与圆有关的计算
17．时钟的分针长5 cm，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是( )
A.π cm B.π cm
C.π cm D.π cm
18．已知扇形的圆心角为60°，半径长为12，则扇形的面积为( )
A.π B．2π
C．3π D．24π
19．如图，已知⊙O的周长等于8π cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为( )
A．2 cm
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B．2 cm
C．4 cm
D．4 cm
20．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F.
(1)求劣弧PC的长；(结果保留π)
（2）求阴影部分的面积.（结果保留π）
02 中档题
21．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长等于( )
A. B. C．8 D．6
22．(临沂中考)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB＝30°，AB＝，则阴影部分面积是( )
A B. C.－ D.－
23．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是()
A．S1＝S2＝S3 B．S1＞S2＞S3
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C．S1＜S2＜S3 D．S2＞S3＞S1
24．如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②AD＝DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是()
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③
25．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为____________．
26．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝____________.
27．如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD＝2，AE＝5.
(1)求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD＝∠DOB时，求AF的长．
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28．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.
(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若CE=2，求⊙O的半径r.
03 综合题
29．如图所示，BC是半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧长等于弧长，BF与AD，AO分别交于点E，G.求证：
(1)∠DAO＝∠FBC；
（2）AE=BE.
参考答案
1．A 2.D 3.C 4.A 5.A 6.25 7.D 8.A
9．证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE＝∠DCB.又∠DAE＝∠DAC，∴∠DCB＝∠DAC.又∠DAC＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC.∴DB＝DC.
10．D
11．(1)图略．
(2)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD.∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°.∴∠BAC＝180°－∠
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BDC＝116°.
12．A 13.C 14.B 15.7
16．(1)证明：连接OB、OE.在△ABO和△EBO中，∴△ABO≌△EBO(SSS)．∴∠BAO＝∠BEO.∵⊙O与边BC切于点E，∴OE⊥BC.∴∠BEO＝∠BAO＝90°，即AB⊥AD.∴AB是⊙O的切线．
(2)∵BE＝3，BC＝7，∴AB＝BE＝3，CE＝4.∵AB⊥AD，∴AC＝＝＝2.∵OE⊥BC，∴∠OEC＝∠BAC＝90°.∠ECO＝∠BCA.∴△CEO∽△CAB.∴＝，即＝.解得OE＝.∴⊙O的半径长为.
17．C 18.D 19.B
20．(1)∵点D是AB的中点，PD经过圆心，∴PD⊥AB.∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD.∵PF⊥AC，∴∠OPF＝30°.∴OF＝OP.∵OA＝OC，AD＝BD，∴BC＝2OD.∴OA＝BC＝2.∴⊙O的半径为2.∴劣弧PC的长为＝π.
(2)∵OF＝OP，∴OF＝1.∴PF＝＝.∴S阴影＝S扇形－S△OPF＝－×1×＝π－.
21．C 22.C 23.C 24.D 25. 26.30°
27．(1)∵AB为直径，点B为的中点，CD＝2，∴AB⊥CD，DE＝CD＝.在Rt△ODE中，∵OD＝r，OE＝5－r，DE＝，∴r2＝(5－r)2＋()2，解得r＝3.
(2)∵由(1)知，OE＝AE－AO＝5－3＝2，∴tan∠FCE＝tan∠DOB＝＝.在Rt△FCE中，∵＝＝，∴EF＝.∴AF＝AE－EF＝5－＝.
28．(1)⊙O与BC相切，理由：连接OD、OB.∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∠ODC＝90°.∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AD＝CD＝CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上．∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD，∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切．
(2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD.∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO，∠COD＝2∠CAD.∴∠COD＝2∠ACD.又∵∠COD＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝30°.∴OD＝OC，即r＝(r＋2)．∴r＝2.
29．证明：(1)连接CF.∵等于，O为圆心，∴点G是BF的中点，OG⊥BF.∵BC是半圆O的直径，∴CF⊥BF.∴OG∥CF.∴∠AOB＝∠FCB.∴∠DAO＝90°－∠AOB，∠FBC＝90°－∠FCB.∴∠DAO＝∠FBC.
(2)连接AC，AB.∵AB弧长等于AF弧长，∴∠BCA＝∠ACF，∠ACF＝∠ABF.∵BC为圆的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠ABC＋∠ACB＝90°.又∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠ABC＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠BCA.∴∠ABF＝∠BAD，即BE＝AE.
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