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2017年中考数学一轮复习专题练习《无理数与实数》
一．选择题
1．的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
2．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0
3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ）
A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b
4．的运算结果应在哪两个连续整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
5．已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（ ）
①m是无理数；
②m是方程m2﹣12=0的解；
③m满足不等式组；
④m是12的算术平方根．
A．①② B．①③ C．③ D．①②④
6．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．|a|＜1＜|b| B．1＜﹣a＜b C．1＜|a|＜b D．﹣b＜a＜﹣1
7．实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（ ）
A．小于或等于3的实数 B．小于3的实数
C．小于或等于﹣3的实数 D．小于﹣3的实数
二．填空题
8．实数﹣27的立方根是 ．
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9．若实数m，n满足（m﹣1）2+=0，则（m+n）5= ．
10．将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为 ．
11．比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“=”）
三．解答题
12．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣|+π0．
13．计算：|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0．
14．计算：．
15．计算：|﹣3|﹣（2016+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．
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答案与解析
一．选择题
1．（2016•毕节市）的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【分析】首先根据立方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解： =2，2的算术平方根是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意关键是要首先计算=2．
2．（2016•大庆）已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，然后即可作出判断．
【解答】解：根据点a、b在数轴上的位置可知1＜a＜2，﹣1＜b＜0，
∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0，．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用，掌握法则是解题的关键．
3．（2016•威海）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ）
A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b
【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以化简|a|﹣|b|，本题得以解决．
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【解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，
则|a|﹣|b|=a﹣（﹣b）=a+b．
故选C．
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，根据数轴可以判断a、b的正负．
4．（2016•资阳）的运算结果应在哪两个连续整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【分析】根据无理数的大小比较方法得到＜＜，即可解答．
【解答】解：∵＜＜，
即5＜＜6，
∴的运算结果应在5和6两个连续整数之间．
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确＜＜．
5．（2015•通辽）已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m的说法中，错误的是（ ）
①m是无理数；
②m是方程m2﹣12=0的解；
③m满足不等式组；
④m是12的算术平方根．
A．①② B．①③ C．③ D．①②④
【分析】①根据边长为m的正方形面积为12，可得m2=12，所以m=2，然后根据是一个无理数，可得m是无理数，据此判断即可．
②根据m2=12，可得m是方程m2﹣12=0的解，据此判断即可．
③首先求出不等式组的解集是4＜m＜5，然后根据m=2＜2×2=4，可得m不满足不等式组，据此判断即可．
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④根据m2=12，而且m＞0，可得m是12的算术平方根，据此判断即可．
【解答】解：∵边长为m的正方形面积为12，
∴m2=12，
∴m=2，
∵是一个无理数，
∴m是无理数，
∴结论①正确；
∵m2=12，
∴m是方程m2﹣12=0的解，
∴结论②正确；
∵不等式组的解集是4＜m＜5，m=2＜2×2=4，
∴m不满足不等式组，
∴结论③不正确；
∵m2=12，而且m＞0，
∴m是12的算术平方根，
∴结论④正确．
综上，可得
关于m的说法中，错误的是③．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
（2）此题还考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．
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（3）此题还考查了不等式的解集的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．
6．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．|a|＜1＜|b| B．1＜﹣a＜b C．1＜|a|＜b D．﹣b＜a＜﹣1
【分析】首先根据数轴的特征，判断出a、﹣1、0、1、b的大小关系；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，逐一判断每个选项的正确性即可．
【解答】解：根据实数a，b在数轴上的位置，可得
a＜﹣1＜0＜1＜b，
∵1＜|a|＜|b|，
∴选项A错误；
∵1＜﹣a＜b，
∴选项B正确；
∵1＜|a|＜|b|，
∴选项C正确；
∵﹣b＜a＜﹣1，
∴选项D正确．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了实数与数轴，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）此题还考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
7．实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（ ）
A．小于或等于3的实数 B．小于3的实数
C．小于或等于﹣3的实数 D．小于﹣3的实数
【分析】
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熟悉绝对值的意义，根据绝对值的意义求得b的取值范围，再根据a，b的关系求得a的取值范围．
【解答】解：∵|b|＜3，∴﹣3＜b＜3，
又∵a＜b，
∴a的取值范围是小于或等于﹣3的实数．
故选C．
【点评】此题考查了绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，更直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
二．填空题
8．（2016•宁波）实数﹣27的立方根是 ﹣3 ．
【分析】由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果．
【解答】解：∵（﹣3）3=﹣27，
∴实数﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了立方根的定义、乘方的意义；熟练掌握立方根的定义是解决问题的关键．
9．若实数m，n满足（m﹣1）2+=0，则（m+n）5= ﹣1 ．
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出（m+n）5的值．
【解答】解：由题意知，
m，n满足（m﹣1）2+=0，
∴m=1，n=﹣2，
∴（m+n）5=（1﹣2）5=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
10．将实数，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为 ﹣6 ．
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【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：≈2.236，π≈3.14，
∵﹣6＜0＜2.236＜3.14，
∴﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
11．比较大小： ＜ ．（填“＞”，“＜”或“=”）
【分析】首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小关系即可．
【解答】解：﹣
=
=
∵，
∴4，
∴，
∴﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出﹣的差的正、负．
三．解答题
12．（2016•黄石）计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣|+π0．
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【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣|+π0的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣|+π0
=1+2×﹣+1
=1+﹣+1
=2
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
13．（2016•衢州）计算：|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0．
【分析】根据绝对值和算术平方根、乘方以及零指数幂的定义进行计算，即可得出结果．
【解答】解：|﹣3|+﹣（﹣1）2+（﹣）0
=3+3﹣1+1
=6．
【点评】本题考查了实数的运算、绝对值和算术平方根、乘方以及零指数幂的定义；熟练掌握实数的运算是解决问题的关键．
14．（2016•梅州）计算：．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
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【解答】解：
=1+×﹣3+2
=1+1﹣3+2
=1
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
15．计算：|﹣3|﹣（2017+sin30°）0﹣（﹣）﹣1．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式|﹣3|﹣（2017+sin30°）0﹣（﹣）﹣1的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|﹣（2017+sin30°）0﹣（﹣）﹣1
=3﹣1+2
=2+2
=4．
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方
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