2017年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{2} B．{1，3} C．{1，2} D．{1，2，3}‎ ‎2．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）‎ ‎3．设变量x，y满足线性约束条件，则z=x+2y的最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎4．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）‎ A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx ‎6．设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．30‎ ‎8．某商场门口安装了3个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能是红、黄、绿中的一种颜色，且这3个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这3个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为3秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（　　）‎ A．36秒 B．33秒 C．30秒 D．15秒 ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.‎ ‎9．设i为虚数单位，则i（i+1）=　　．‎ ‎10．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134‎ 则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为　　．‎ ‎11．log3，（）0.2，2三个数中最大的数是　　．‎ ‎12．若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于　　．‎ ‎13．在△ABC中，a=，b=1，∠A=，则cosB=　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎16．（13分）已知等差数列{an}中，a1=3，a2+a5=11．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）若cn=2+n，求数列{cn}的前10项和S10．‎ ‎17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EO∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC⊥PB．‎ ‎18．（13分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；‎ ‎（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ ‎19．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（14分）已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，∠F1AF2的平分线所在直线为l．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{2} B．{1，3} C．{1，2} D．{1，2，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】利用交集定义直接求解．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，3}，‎ ‎∴A∩B={1，3}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标是（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标．‎ ‎【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，‎ 得（x﹣2）2+（y+3）2=13‎ ‎∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r=的圆 故选：D．‎ ‎【点评】本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标．着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．设变量x，y满足线性约束条件，则z=x+2y的最小值为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最小值．‎ ‎【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，‎ 令z=0得x+2y=0，‎ 显然当平行直线x+2y=0过点 A（0，﹣1）时，‎ z取得最小值为﹣2；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．‎ 第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2；‎ 第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3；‎ 第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，‎ 故输出的i值为：3，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．‎ ‎　‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）‎ A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx ‎【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．‎ ‎【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；‎ 对于B，是偶函数，但是不存在零点；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；‎ 对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．‎ ‎　‎ ‎6．设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平行向量与共线向量．‎ ‎【分析】利用向量的数量积公式得到 •=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．‎ ‎【解答】解：∵ •=，‎ 若a，b为零向量，显然成立；‎ 若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．‎ 而，则与的夹角为为零角或平角，有．‎ 因此是的充分必要条件．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．12 B．18 C．24 D．30‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：‎ 三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，‎ 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，‎ ‎∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8．某商场门口安装了3个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能是红、黄、绿中的一种颜色，且这3个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这3个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为3秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（　　）‎ A．36秒 B．33秒 C．30秒 D．15秒 ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，由排列数公式计算可得闪烁共有A33=6个不同的顺序，即6个不同的闪烁，由此计算可得闪烁一共需要的时间和间隔一共需要时间，将其相加即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，要求3个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，则共有A33=6个不同的顺序，即6个不同的闪烁；‎ 每个闪烁为3秒，则闪烁一共需要6×3=18秒，‎ 相邻两个闪烁的时间间隔均为3秒，则间隔一共需要3×（6﹣1）=15秒，‎ 则实现所有不同的闪烁，那么需要的时间为18+15=33秒；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是排列、组合的应用，要求把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.‎ ‎9．设i为虚数单位，则i（i+1）=　﹣1+i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：i（i+1）=﹣1+i，‎ 故答案为：﹣1+i．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134‎ 则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为　0.4　．‎ ‎【考点】频率分布表．‎ ‎【分析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．‎ ‎【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数据中，‎ 样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有4个，‎ ‎∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，‎ 故答案是0.4．‎ ‎【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．‎ ‎　‎ ‎11．log3，（）0.2，2三个数中最大的数是　2　．‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】log3＜0，（）0.2∈（0，1），2＞1，即可得出．‎ ‎【解答】解：log3＜0，（）0.2∈（0，1），2＞1，‎ 则三个数中最大的数是2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．若双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程式为y=，则b等于　1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b．‎ ‎【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=，‎ ‎∴，解得b=1．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为1‎ ‎【点评】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题．‎ ‎　‎ ‎13．在△ABC中，a=，b=1，∠A=，则cosB=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可求sinB，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值．‎ ‎【解答】解：∵a=，b=1，∠A=，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinB===，‎ ‎∵b＜a，B为锐角，‎ ‎∴cosB==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　1和3　．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．‎ ‎【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；‎ ‎（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；‎ ‎∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；‎ ‎（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；‎ ‎∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；‎ ‎∴甲的卡片上的数字是1和3．‎ 故答案为：1和3．‎ ‎【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎15．（13分）（2017•怀柔区模拟）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接将x=代入计算即可．‎ ‎（Ⅱ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．‎ 那么：f（）=（sin+cos）2+cos2×﹣1．‎ ‎=（）2+cos ‎=1；‎ ‎（Ⅱ）由函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．‎ 化简可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x ‎=sin2x+cos2x ‎=sin（2x+），‎ ‎∴函数f（x）的最小正周期T=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由≤2x+（k∈Z）是单调递增，‎ 解得：≤x≤，‎ ‎∴函数的单调递增区间为[，]（k∈Z）．‎ ‎【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力，函数性质和同角三角函数关系式的计算．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）（2017•怀柔区模拟）已知等差数列{an}中，a1=3，a2+a5=11．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）若cn=2+n，求数列{cn}的前10项和S10．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知等式求出公差，然后求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）化简得到数列{cn}的通项公式，利用分组求和得到所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}中，a1=3，a2+a5=11=a1+a6．‎ 所以a6=8，所以公差为1，所以an=n+2；‎ ‎（Ⅱ）所以cn=2+n=2n+n，‎ 所以数列{cn}的前10项和S10=（1+2+…+10）+（2+22+23+…+210）==55﹣2+211=53+211．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式以及对数列分组求和；属于常规题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2017•怀柔区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EO∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC⊥PB．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）通过三角形中位线的性质可得OE∥PD，进而根据线面平行的判定定理可以证明出EO∥平面PAD；‎ ‎（2）先分别证明出AC⊥BD，PD⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面PBD，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）因为 底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，‎ 所以 O为BD的中点．‎ 又 E为PB的中点，‎ 所以 EO∥PD．‎ 因为 EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，‎ 所以 EO∥平面PAD．‎ ‎（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC，‎ 又 PD∩BD=D，‎ 所以 AC⊥平面PBD．‎ 所以 AC⊥⊥PB．‎ ‎【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2015•山东）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；‎ ‎（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；‎ ‎（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；‎ 从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；‎ 通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；‎ 这是一个古典概型，∴P（A）=；‎ ‎（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；‎ ‎∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；‎ 设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；‎ 这是一个古典概型，∴．‎ ‎【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2017•怀柔区模拟）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，可得x=1处切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；‎ ‎（Ⅲ）由题意可得ax+lnx＜2，即为a＜的最小值，令g（x）=，求出导数和单调区间，可得极小值也为最小值，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）若a=2，则f（x）=2x+lnx的导数为f′（x）=2+，‎ 可得曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为3，‎ 切点为（1，2），可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），‎ 即为3x﹣y﹣1=0；‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）=ax+lnx的导数为f′（x）=a+=，x＞0．‎ 当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；‎ 当a＜0时，由f′（x）＜0，可得x＞﹣；由f′（x）＞0，可得0＜x＜﹣．‎ 综上可得，当a≥0时，f（x）有增区间（0，+∞）；‎ 当a＜0时，f（x）的增区间为（0，﹣），减区间为（﹣，+∞）；‎ ‎（Ⅲ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜2成立，‎ 即有ax+lnx＜2，即为a＜的最小值，‎ 令g（x）=，g′（x）=，‎ 当x＞e3时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜e3时，g′（x）＜0，g（x）递减．‎ 可得g（x）在x=e3处取得极小值，且为最小值﹣．‎ 可得a＜﹣．‎ 则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2017•怀柔区模拟）已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，∠F1AF2的平分线所在直线为l．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为 （a＞b＞0）‎ ‎∵椭圆E经过点A（2，3），离心率e=，‎ ‎∴解a2=16，b2=12．‎ ‎∴椭圆方程E为：．‎ ‎（Ⅱ）F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ ‎∵A（2，3），∴AF1方程为：3x﹣4y+6=0，AF2方程为：x=2‎ 设角平分线上任意一点为P（x，y），；‎ 得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0‎ ‎∵斜率为正，∴直线方程为2x﹣y﹣1=0；l与x轴的交点为Q，点Q的坐标（，0）．‎ ‎（Ⅲ）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，∴kBC=﹣，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴直线BC方程为y=﹣x+m代入椭圆方程．，‎ 得x2﹣mx+m2﹣12=0，∴BC中点为（）‎ 代入直线2x﹣y﹣1=0上，得m=4． ‎ ‎∴BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费