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银川2016-2017学年第二学期第一次模拟试卷
高三年级数学（理科）试卷 （本试卷满分150分） 命题人：韩 潇
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）—（23）题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、学生、班级填写在答题卡上，否则该卷记零分。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U=R，A={x|x2＜16}，B={x|y=log3（x﹣4）}，则下列关系正确的是（ ）
A．A∪B=R B．A∪（∁RB）=R C．A∩（∁RB）=R D．（∁RA）∪B=R
2．已知i为虚数单位，复数z=在复平面内对应的点位于第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．已知a、b都为集合{﹣2，0，1，3，4}中的元素，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（ ）
A．n=6 B.n＜6
C．n≤6 D.n≤8
5．已知数列{an}，若点{n，an}（n∈N*）在直线y﹣2=k（x﹣5）上，则数列{an}的前9项和S9等于（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
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6．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ）
A．8π﹣16 B．8π+16
C．16π﹣8 D．8π+8
7．已知双曲线﹣=1的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线一个交点为
（4，3），则该双曲线的实轴长为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．10
8．若函数f（x）=sin（2x+φ）满足∀x∈R，f（x）≤f（），则f（x）在[0，π]上的单调递增区间为（ ）
A．[0，]与[，] B．[，]
C．[0，]与[，π] D．[0，]与[，]
9．定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数）使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为f（x）的一个承托函数，现在如下函数：①f（x）=x3；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=x+sinx则存在承托函数的f（x）的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②③④
10．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC=AA1，则AB1与CA1所成角的大小为（ ）
A．60° B．105° C．75° D．90°
11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．3
12．当时，，则的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，1）
C．（1，） D．（，2）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是 ．
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14．若圆C：与轴有公共点，则的取值范围是________
15．若不等式（﹣1）na＜2+（﹣1）n+1对∀n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16．若满足， 则的最大值为__________
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17．设函数f（x）=•，其中向量=（2cosx，1），=（cosx， sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=，b+c=3（b＞c），求b，c的值．
18. 设等比数列的前项和为，已知.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，设数列的前项和，证明：.
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19．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证AD⊥BM．；
（2）若E是线段DB的中点，求二面角E﹣AM﹣D的余弦值．
20．已知斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于两点。
（1）记直线的斜率分别为，当时，证明：直线过定点；
（2）若直线过点，设与的面积比为，当时，求的取值范围。
21．已知函数f（x）=lnx+ax2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞1，若对任意x1，x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．
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请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
答案
一、 1—5 DBBCB 6—10 AACBD 11-12 B B
二、 13. 14. 15、 [﹣2，] 16. 0
三、
17.【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（2）由f（A）=2，得到2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=，
∴2A+=，即A=，
由余弦定理得：cosA=，即=，
整理得：bc=2①，
由b+c=3②，b＞c，
联立①②，解得：b=2，c=1．
18．解（Ⅰ）由N*）得N*，），
两式相减得：， 即N*，），
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∵是等比数列，所以，又
则，∴， ∴.
（Ⅱ）由（1）知，
∵ ∴，
令…，
则+… ①
… ②
①-②得…
.
19.【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM，
∵面ADM⊥面ABCM，
∴BM⊥面ADM，
∵AD⊂面ADM，∴BM⊥AD．
解：（2）以AM中点O为原点，OA为x轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（﹣，1，），=（，﹣1，﹣），=（﹣2，0，0），
平面AMD的法向量=（0，1，0），
设平面EAM的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，﹣2），
设二面角E﹣AM﹣D的平面角为θ，
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则cosθ=||=．
∴二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．
20. 解： （1）解法1：依题意可设直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
则有。
则
。
由条件有，而，则有n=+ 1/2
从而直线过定点或。
解法2：依题意可设直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
则有。
则
。
由条件有，得。
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则直线的方程为，从而直线过定点或。
（2）依题意可设直线的方程为，其中。
代入椭圆方程得：，
则有。
从而有…………①
…………②
由①②得，
由，得。又，因，故，又，
从而有，得， 解得或。
21【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，（x＞0），
a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，
令f′（x）＜0，解得：x＞，
故函数f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；
（2）不妨设x1≤x2，而a＞1，
由（1）得：f（x）在（0，+∞）递增，
从而对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|
等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）﹣4x2≥f（x1）﹣4x1①
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令g（x）=f（x）﹣4x，则g′（x）=+2ax﹣4
①等价于g（x）在（0，+∞）单调递增，即+2ax﹣4≥0．
从而2a≥=+4，∴a≥2
故a的取值范围为[2，+∞）．
22.【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，
因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，
∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．
23. 解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
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