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2016-2017学年全日制第三次月考测试卷
数学（文科）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．如图是2016年中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，则一定有（ ）
A． B． C． D．，的大小与的值有关
4.如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）
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A． B． C． D．
5.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．30
6.已知正项数列中，，，，则等于（ ）
A．16 B．8 C．4 D．
7.已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，正实数，，是公差为负数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定成立的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.设为虚数单位，则复数所对应的点位于第 象限．
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10.设，，，则，，按由小到大的顺序是 ．
11.已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正方形，正视图和侧视图是边长为4的等边三角形，则该四棱锥的全面积为 ．
12.已知双曲线的右焦点为，的值为 ，渐进线方程 ．
13.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， ．
14.已知函数在函数的零点个数 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在的值域．
16.在数列中，（，）且．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
17.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点．
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（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）如果是的中点，求证平面；
（Ⅲ）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论．
18.股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国．2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心．最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
投资结果
获利
不赔不赚
亏损
概率
（2）购买基金：
投资结果
获利
不赔不赚
亏损
概率
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求的取值范围；
（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．
19.已知函数，．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
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（Ⅱ）证明：对任意，，都有成立．
20.已知椭圆经过点，离心率为，动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明：线段的长为定值，并求出这个定值．
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2016-2017学年全日制第三次月考数学（文科）测试卷答案
一、选择题
1-5: 6-8:
二、填空题
9.一 10. 11. 12.， 13. 14.4
三、解答题
15.解：（Ⅰ）∵，
∴．
（Ⅱ） ，
由，得，
所以，，
所以的值域为．
16.（Ⅰ）证明：∵，∴，
∵，∴，
所以数列是以3为首项2为公比的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
∴，
∴．
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17.解：（Ⅰ）∵平面，
∴，
即四棱锥的体积为．
（Ⅱ）连结交于，连结．
∵四边形是正方形，∴是的中点，
又∵是的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
（Ⅲ）不论点在何位置，都有．
证明如下：∵四边形是正方形，∴，
∵底面，且平面，∴，
又∵，∴平面．
∵不论点在何位置，都有平面，
∴不论点在何位置，都有．
18.解：（Ⅰ）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以，又因为，所以．
（Ⅱ）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，
得，
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因为，
所以，解得，
又因为，，
所以，
所以．
（Ⅲ）记事件为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，
用，，分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用，，分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，
则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有种，它们是：，，，，，， ，，
所以事件的结果有5种，它们是：，，，，．
因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率．
19.（Ⅰ）解：由，可得．
当，，单调递减；
当，，单调递增．
所以函数在区间上单调递增，
又，所以函数在区间上的最小值为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，
又，可知．
由，可得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以函数（）在时取得最大值，
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又，可知，
所以对任意，，都有成立．
20.解：（Ⅰ）由题意得，①
因为椭圆经过点，所以，②
又，③
由①②③解得，，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）以为直径的圆的圆心为，半径，
方程为，
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离．
所以，解得，
所求圆的方程为．
（Ⅱ）过点作的垂线，垂足设为，由平面几何知：．
则直线： ，直线：，
由得，
∴，
所以线段的长为定值.
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