2017年全国初中数学联合竞赛初二试题含答案.pdf

2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．已知实数 ,,abc满足 2 13 3 90a b c   ，3 9 72a b c   ，则 3 2 bc ab   ＝ （ ） A. 2． B. 1． C. 0． D. 1 ． 【答】B. 已知等式可变形为 2( 2 ) 3(3 ) 90a b b c    ，3( 2 ) (3 ) 72a b b c    ，解得 2 18ab， 3 18bc ，所以 3 2 bc ab   1. 2．已知实数 满足 1abc   ， 1 1 1 01 3 5a b c     ，则 22( 1) ( 3)ab    2( 5)c  ＝ （ ） A.125． B．120． C．100． D．81． 【答】C. 令 1ax ， 3by， 5cz，则 ( 1) ( 3) ( 5) 10x y z a b c         ，且 由 得 1 1 1 0x y z   ，所以 0xy yz zx. 所以 2 2 2 2 2 2 2( 1) ( 3) ( 5) ( ) 2( ) 100a b c x y z x y z xy yz zx               . 3．若正整数 ,,abc满足 abc且 2( )abc a b c   ，则称( , , )abc 为好数组.那么，好数组的个数 为 （ ） A. 4． B．3． C．2． D．1． 【答】B. 若 为好数组，则 2( ) 6abc a b c c    ，所以 6ab  .显然， a 只能为 1 或 2. 若 ＝2，由 可得 2b  或 3， 时可得 4c  ， 3b  时可得 5 2c  （不是整数）； 若 ＝1，则 2(1 )bc b c   ，于是可得( 2)( 2) 6bc   ，可求得 ＝（1，3，8）或（1，4， 5）. 综合可知：共有 3 个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）. 2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 5 页） 4．已知正整数 ,,abc满足 2 6 3 9 0a b c    ， 260a b c    ，则 2 2 2abc＝ （ ） A. 424． B. 430． C. 441． D. 460． 【答】C. 由已知等式消去c 整理得 22( 9) 3( 1) 75ab    ，所以 23( 1) 75b，又 b 为正整数，解得16b. 若b ＝1，则 2( 9) 75a ，无正整数解； 若 ＝2，则 2( 9) 72a ，无正整数解； 若 ＝3，则 2( 9) 63a ，无正整数解； 若 ＝4，则 2( 9) 48a ，无正整数解； 若 ＝5，则 2( 9) 27a ，无正整数解； 若 ＝6，则 2( 9) 0a ，解得 9a  ，此时 18c  . 因此， ， ＝6， ，故 2 2 2abc  ＝441. 5．梯形 ABCD中， //AD BC ， 3AB  ， 4BC  ， 2CD  ， 1AD  ，则梯形的面积为 （ ） A. 10 2 3 ． B. 10 3 3 ． C. 32． D. 33． 【答】A. 作 //AE DC ， AH BC ，则 ADCE 是平行四边形，所以 1CE AD， 2AE CD，从而 4 1 3BE BC CE AB      ，所以△ ABE 是等腰三角 形，底边 AE 边上的高为 223 1 2 2 . 所以△ 的面积 112222S AE BE AH      ，故可得 42 3AH  . 所以梯形的面积为 1 4 2 10 2(1 4)2 3 3    . 6．如图，梯形 ABCD 中， //AD BC , 90A  ，点 E 在 AB 上，若 42AE  ， 28BE  ， 70BC  ， 45DCE  ，则 DE ＝ （ ） A. 56． B. 58． C.60． D. 62． 【答】B. 作CF AD ，交 AD 的延长线于点 F ，将 △CDF 绕点C 逆时针方向旋转90 至 △ CGB ，则 ABCF 为正方形，且 45ECG ECD     ，CG CD ，CE CE ，所以，△ ECG ≌ △ ECD，所以 EG ED . 设 DE x ，则 28DF BG x   ， 70 98AD DF x    . 在 Rt △ EAD中，有 2 2 242 (98 )xx   ，解得 58x  . 2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 2 页（共 5 页） DA B CH E FA CB E D G二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．使得等式 311aa   成立的实数 a 的值为_______． 【答】8 . 由所给等式可得 32(1 1 )aa   .令 1xa，则 0x  ，且 2 1ax，于是有 3 2 2(1 ) ( 1)xx   ， 整理后因式分解得 2( 3)( 1) 0x x x   ，解得 1 0x  ， 2 3x  ， 3 1x  （舍去），所以 1a  或 8a  . 验证可知： 是原方程的增根， 是原方程的根. 所以， . 2．已知△ ABC 的三个内角满足 100A B C   ，用  表示100 , ,C C B B A   中的最小者，则 的最大值为_______． 【答】 20. 因为 表示100 , ,C C B B A   中的最小者，所以 100 C   ， CB ， BA ，所以 6 3(100 ) 2( ) ( ) 300 ( ) 120C C B B A A B C            ，所以 20 . 又当100 20C C B B A      ，即 80 , 60 , 40C B C      时，满足题设条件，故 可取到 20. 因此， 的最大值为 20. 3．设 ,ab是两个互质的正整数，且 38abp ab  为质数，则 p  ． 【答】7. 因为 互质，所以 ab 与 a 和b 都互质，而 为质数，所以 3 1, 8 , ab pab     或 3 , 8 1. ab p ab     由 可得 1ab， 4p  ，不合题意； 由 可得 7a  ， 1b  ， 7p  ，符合题意； 所以 . 4．20 个都不等于 7 的正整数排列成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于 7，则这 20 个数之 和的最小值为 ． 【答】34. 2017 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 5 页） 首先证明：对于任意 7 个正整数 1 2 7, , ,b b b ，其中一定存在若干个数（至少一个，也可以是全部）之 和为 7 的倍数. 我们来考虑如下 7 个正整数 1 1 2 1 2 3 1 2 7, , , ,b b b b b b b b b      ① 如果①中 7 个正整数有一个是 7 的倍数，则结论成立． 如果①中 7 个正整数没有一个是 7 的倍数，则它们除以 7 所得的余数只能为 1，2，…，6 这 6 种情况．所 以，其中一定有两个正整数除以 7 所得的余数相同，不妨设为 12 ib b b   和 12 jb b b   （17ij   ），于是 1ijbb  是 7 的倍数.所以，结论成立. 对于 20 个都不等于 7 的正整数 1 2 20, , ,a a a 中的任意 7 个数，由上述结论可知，其中一定有若干个 数的和是 7 的倍数，又由题设知，它不等于 7，所以，它大于或等于 14. 又因为 20＝2×7＋6，所以 1 2 20 2 14 6 34a a a       ② 另外，当 7 14 8aa， 中其余的数都为 1 时， 1 2 20a a a   ＝34，即②式等号成立. 所以， 1 2 20a a a   的最小值为 34． 第二试 一、（本题满分 20 分）设 A , B 是两个不同的两位数，且 是由 交换个位数字和十位数字所得，如 果 22AB 是完全平方数，求 A 的值. 解 设 10A a b， ,ab为正整数且19a，19b， ab ，则 10B b a， 2 2 2 2 2 2 2(10 ) (10 ) 99( ) 3 11 ( ) ( )A B a b b a a b a b a b             .……………………5 分 因为 是完全平方数，所以 ab ，且11| ( ) ( )a b a b   . 又18ab   ，1 18ab   ，所以 11ab . ……………………10 分 于是 2 2 2 23 11 ( )A B a b     ，故 ab 也是完全平方数，所以 ＝1 或 4. ……………………15 分 如果 ＝1，结合 可求得 6a  ， 5b  . 如果 ＝4，结合 可知没有正整数解. 因此， ， ， ＝65. ……………………20 分 二、（本题满分 25 分）如图，△ ABC 中，D 为 BC 的中点， DE 平分 ADB ，DF 平分 ADC ， BE DE ，CF DF ， P 为 AD 与 EF 的交点.证明： 2EF PD . 2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 4 页（共 5 页） 证明 设 2ADB ，则 180 2ADC    ， ADE BDE     ， 90ADF CDF      . ……………………5 分 由于△ BDE 是直角三角形，所以 90 90EBD BDE      ，所以 EBD FDC   . ……………………10 分 又因为 D 为 BC 的中点，所以 BD DC ，所以 Rt △ ≌ △ DCF ， 所以 BE CF . ……………………15 分 又由 可知 //EB FD，因此，四边形 BDFE是平行四边形，故 //EF BD ，于是可得 PED BDE   ， PFD CDF   . ……………………20 分 又因为 BDE PDE   ， CDF PDF   ，所以 PED PDE   ， PFD PDF   ，所以 PE PD PF，所以 2EF PD . ……………………25 分 三、（本题满分 25 分）已知 ,,abc是不全相等的正整数，且 5 5 ab bc   为有理数，求 2 2 2abc abc   的最 小值. 解 因为 ,bc是正整数， 5 是无理数，故 50bc. 而 2 2 2 2 2 5 ( 5 )( 5 ) (5 ) 5( ) 555 a b a b b c ab bc b ac b c b cbc       为 有 理 数 ， 所 以 2 0b ac，故 2b ac ，又 不全相等，不妨设 abc. ……………………10 分 又 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) ( )( )a b c a ac c b a c b a c b a c b              ，所以 2 2 2abc abc   ＝ a c b，为整数. ……………………15 分 当 1c  时， 2ab 为完全平方数，则 4a  ， 2 3( ) 0 3 324 aaa c b a c ac c           ； ……………………20 分 当 2c  时， 13a c b c     . 所以 3a c b   ，且当 4a  ， 2b  ， 1c  时， 3a c b   . 因此， 的最小值为 3. ……………………25 分 2017 年全国初中数学联合竞赛试题（初二年级）参考答案及评分标准 第 5 页（共 5 页） P FE D A B C