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山西省2017届高三3月高考考前适应性测试（一模）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2.设是复数的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.已知向量，，则（ ）
A．-6 B．6 C.14 D．-14
5.在中，为边上一点，且，，，的面积为，则边的长是（ ）
A．2 B． C.4 D．
6.过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与交于两点.关于抛物线在两点处的切线，有下列四个命题，其中的真命题有（ ）
①两切线互相垂直；②两切线关于轴对称；
③过两切点的直线方程为；④两切线方程为.
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
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A． B． C. D．
8.已知是圆上的一个动点，过点作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，的中点为.若曲线，且，则点的轨迹方程为.若曲线，且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C. D．
9.已知，则的值是（ ）
A． B． C. D．
10.运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”.（算术符号表示取余数，如）.下列数中的“水仙花数”是
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A．100 B．153 C. 551 D．900
11.已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若函数的单调递减区间为，则 ．
14.已知满足，则的最小值是 ．
15.已知函数的部分图象如图所示，将函数
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的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数在区间上的最大值是 ．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且为抛物线的焦点.设点为两曲线的一个公共点，且，，为钝角，则双曲线的方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列满足，，，等差数列满足，.
（1）求；
（2）记，求；
（3）求数列前200项的和.
18. 在三棱柱中，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.
19. 某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1,2,3，…
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，12.若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等.
为检验某批玩具是否合格，制定检验标准为：多次抛掷该玩具，并记录朝上的面上标记的数字，若各数字出现的频率的极差不超过0.05.则认为该玩具合格.
（1）对某批玩具中随机抽取20件进行检验，将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图（如图所示），试估计这批玩具的合格率；
（2）现有该种类玩具一个，将其抛掷100次，并记录朝上的一面标记的数字，得到如下数据：
朝上面的数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
次数
9
7
8
6
10
9
9
8
10
9
7
8
1）试判定该玩具是否合格；
2）将该玩具抛掷一次，记事件：向上的面标记数字是完全平方数（能写成整数的平方形式的数，如，9为完全平方数）；事件：向上的面标记的数字不超过4.试根据上表中的数据，完成以下列联表（其中表示的对立事件），并回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能否认为事件与事件有关.
合计
合计
100
（参考公式及数据：，）
20. 已知椭圆过点，且的离心率为.
（1）求的方程；
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（2）过的顶点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于两点.若的角平分线方程为，求的面积及直线的方程.
21.已知函数曲线在点处的切线方程为.
（1）求；
（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；
（2）若，求由两曲线与交点围成的四边形面积的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式.
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）当时，该不等式恒成立，求的取值范围.
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2017年山西省高考考前适应性测试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ABDCB 6-10: CDBAB 11、12：AD
二、填空题
13.1 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由题意知，
于是，，故数列的公差为3，
故.
（2）.
（3）由（2）知，数列为等差数列，
故.
18.（1）证明：连接交于点，连接.
则为的中点，又为的中点，所以，且平面，平面，则平面.
（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.
因为点在平面的射影在上，且，
所以平面，∴，，∴平面，
则.
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设，在中，，，
∴，，，
由，可得.
则
.
所以三棱锥的体积为.
19.解：（1）由题意知，20个样本中，极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格，故合格率可估计为，即这批玩具的合格率约为85%.
（2）1）由数据可知，5点或9点对应最大频率0.10,4点对应最小频率0.06，故频率极差为，故该玩具合格.
2）根据统计数据，可得以下列联表：
于是的观测值，
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为事件与事件有关.
20.解：（1）把点代入中，得，又，∴，
解得，，
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∴椭圆的方程为.
（2）设过斜率为的直线为，代入椭圆方程得
，①
则，
∴，②
在直线上取一点，则到直线的距离为，
点到直线的距离为，
由已知条件，解得或.
代入②得，，
∴的面积.
由①得，.
∴的方程为，即.
21.解：（1）时，，，.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
又曲线在点处的切线方程为，
所以.
（2）由（1）知，显然对于任意恒成立，
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所以为偶函数，.
由得，
两边取以为底的对数得，
所以在上恒成立.
设，
则（因为），
所以.
设，易知在上单调递减，
所以，故，
要此不等式有解必有，又，
所以满足要求，故所求的最小正整数为2.
22.解：（1），.
当或时，两曲线有两个公共点；
当时，两曲线有四个公共点；
当或时，两曲线无公共点.
（2）由于曲线与曲线关于轴、轴以及原点对称，
所以四边形也关于轴、轴以及原点对称.
设四边形位于第一象限的点为，
则四边形的面积为
.
当且仅当，即时，等号成立.
23.解：（1）当时，原不等式化为，
等价于或，解得.
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所以所求的不等式的解集为.
（2）∵，∴，∴原不等式化为①.
当，即时，①式恒成立，所以.
当，即时，①式化为
，或.
化简得，或.
∵，∴，，
∴或.
又，，
所以当时，，，
所以，或.
所以，或.
综上实数的取值范围为或.
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