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2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]
2．若复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．在等比数列{an}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
5．若实数x，y满足不等式，则x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣5 B．2 C．5 D．7
6．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：
①若α∥β，则m∥n；
②若α∥β，则m∥β；
③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．
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其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数f（x）的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f（x）单调递减，且函数f（x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（π）＜f（3）＜f（） B．f（π）＜f（）＜f（3） C．f（）＜f（3）＜f（π） D．f（）＜f（π）＜f（3）
9．执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为（ ）
A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375
10．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以A1A2为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]
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12．把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是（ ）
A．2 B． C．10 D．30
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|= ．
14．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是 ．
15．若曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是 ．
16．在数列{an}中，a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），则数列{an}的通项公式an= ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．
（Ⅰ）求sin∠BCE的值；
（Ⅱ）求CD的长．
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18．（12分）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
x
555
559
551
563
552
y
601
605
597
599
598
（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；
（Ⅱ）求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．
（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =﹣）
19．（12分）如图，已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．
（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．
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（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+=，并说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=（a+）lnx﹣x+，其中a＞0．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；
（Ⅱ）设a∈（1，e]，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）时，记f（x2）﹣f（x1）的最大值为M（a），那么M（a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，θ），其中θ∈（，π）
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|
（Ⅰ）求不等式f（x+）≥0的解集；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．
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2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A=[﹣1，2]，
B={y|y=x2，x∈A}=[0，4]，
∴A∩B=[0，2]．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．若复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且===+i为纯虚数，∴ =0，≠0，
∴a=1．
则z1在复平面内所对应的点（1，1）位于第一象限．
故选：A．
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【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则|﹣2|=（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】结合题意设出，的坐标，求出﹣2的坐标，从而求出﹣2的模即可．
【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，
不妨设=（1，0），=（，），
则﹣2=（，﹣），
故|﹣2|==1，
故选：A．
【点评】本题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题．
4．在等比数列{an}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设公比为q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．
【解答】解：设公比为q，
∵a3=6，a3+a5+a7=78，
∴a3+a3q2+a3q4=78，
∴6+6q2+6q4=78，
解得q2=3
∴a5=a3q2=6×3=18，
故选：B
【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题．
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5．若实数x，y满足不等式，则x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣5 B．2 C．5 D．7
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图：
由图得A（0，﹣2），
令z=x﹣y，化为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】由题意知本题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}
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，做出集合对应的面积是边长为30的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率．
【解答】解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，
故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成；
以5：30作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，
设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为：
Ω：{（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，画成图为一正方形；
会面的充要条件是|x﹣y|≤15，即事件A={可以会面}所对应的区域是图中的阴影线部分，
∴由几何概型公式知所求概率为面积之比，
即P（A）==．
故选：D．
【点评】本题考查了把时间分别用x，y坐标来表示，把时间一维问题转化为平面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题．
7．已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：
①若α∥β，则m∥n；
②若α∥β，则m∥β；
③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；
④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
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【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．
【解答】解：①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；
②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；
③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；
④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．
8．已知函数f（x）的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，f（x）单调递减，且函数f（x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（π）＜f（3）＜f（） B．f（π）＜f（）＜f（3） C．f（）＜f（3）＜f（π） D．f（）＜f（π）＜f（3）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的奇偶性，推导出f（﹣x+2）=f（x+2），再利用当x∈[﹣2，2]时，f（x）单调递减，即可求解．
【解答】解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），
∴f（3）=f（1），f（π）=f（4﹣π），
∵4﹣π＜1＜，当x∈[﹣2，2]时，f（x）单调递减，
∴f（4﹣π）＞f（1）＞f（），
∴f（）＜f（3）＜f（π），
故选C．
【点评】本题考查函数单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，正确转化是关键．
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9．执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为（ ）
A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=1.25，b=1.5时满足条件|a﹣b|＜0.3，退出循环，输出的值为1.375．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=1，b=2，c=0.3
执行循环体，m=，不满足条件f（m）=0，
满足条件f（a）f（m）＜0，b=1.5，不满足条件|a﹣b|＜c，
m=1.25，不满足条件f（m）=0，不满足条件f（a）f（m）＜0，a=1.25，满足条件|a﹣b|＜c，
退出循环，输出的值为1.375．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基础题．
10．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A1，A2
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，左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以A1A2为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义和以及圆的有关性质可得PF1=2a，PF2=4a，再根据勾股定理得到a，c的关系式，即可求出离心率．
【解答】解：如图所示，由题意可得OQ∥F1P，OQ=OA2=a，OF2=C，F1F2=2c，
∴==，
∴PF1=2a，
∵点P为双曲线左支的一个点，
∴PF2﹣PF1=2a，
∴PF2=4a，
∵以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，
∴∠F1PF2=90°
∴（2a）2+（4a）2=（2c）2，
∴=3，
∴e==，
故选：B
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【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．
11．已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．
化简可得：f（x）=sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx
=sinωx，
由+，（k∈Z）上单调递减，
得： +，
∴函数f（x）的单调减区间为：[，]，（k∈Z）．
∵在（π，）上单调递减，
可得：
∵ω＞0，
ω≤1．
故选C．
【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．
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12．把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，AB=5，AD=4，AE=3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是（ ）
A．2 B． C．10 D．30
【考点】平行投影及平行投影作图法．
【分析】如图所示，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，即可求出结论．
【解答】解：如图所示，△EBD在平面EBC上的射影为△OEB，
面积为=2，
故选A．
【点评】本题考查射影的概念，考查面积的计算，确定△EBD在平面EBC上的射影为△OEB是关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|= ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离，
就是这点到抛物线的准线的距离．
抛物线的准线方程为：x=﹣，
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所以抛物线y2=2x上横坐标为2的点到其焦点的距离为+2=．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．
14．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是 36 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．
【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，
则9+10+11+（10+x）+y=50，
得：x+y=10，故y=10﹣x，
故S2= [1+0+1+x2+（﹣x）2]= + x2，
显然x最大取9时，S2最大是36，
故答案为：36．
【点评】本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．
15．若曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是 [，+∞） ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由题意可知y′≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数得a≥，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．
【解答】解：y′=，x∈（0，+∞），
∵曲线y=lnx+ax2﹣2x（a为常数）不存在斜率为负数的切线，
∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，
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∴a≥恒成立，x∈（0，+∞）．
令f（x）=，x∈（0，+∞），则f′（x）=，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，f（x）=取得最大值f（1）=，
∴a．
故答案为[，+∞）．
【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．
16．在数列{an}中，a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），则数列{an}的通项公式an= ．
【考点】数列递推式．
【分析】a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），n≥2时，a1+++…+=an﹣1．相减可得： =．再利用递推关系即可得出．
【解答】解：∵a1=1，a1+++…+=an（n∈N*），
n≥2时，a1+++…+=an﹣1．
∴=an﹣an﹣1，
化为： =．
∴=…=2a1=2．
∴an=．
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故答案为：．
【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（12分）（2017•成都模拟）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．
（Ⅰ）求sin∠BCE的值；
（Ⅱ）求CD的长．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；
（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°即可
【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，
（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．
由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，
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sin∠AED=sin（1200+∠BEC）=，⇒cos∠AED=，
在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，
在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49
∴CD=7．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题
18．（12分）（2017•成都模拟）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
x
555
559
551
563
552
y
601
605
597
599
598
（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；
（Ⅱ）求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．
（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =﹣）
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，可得结论；
（Ⅱ）求出回归系数，即可求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．
【解答】解：（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，共有=10种方法，都小于600，有=3种方法，
∴至少有一个大于600的概率==0.7；
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（Ⅱ）=554， =600， ===0.25， =﹣=461.5，∴ =0.25x+461.5，
x=570， =604，即当特征量x为570时特征量y的值为604．
【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，正确计算是关键．
19．（12分）（2017•成都模拟）如图，已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．
（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知可得DA、DE、DC两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BCF的一个法向量，
由平面法向量与平行证明EG∥平面BCF；
（Ⅱ）把多面体ABCDEF的体积分解为两个棱锥的体积求解．
【解答】（Ⅰ）证明：∵梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，∴AD⊥平面CDEF，
则AD⊥DC，又CD⊥DE，
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∴以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
∵AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，
且DG=DA，
∴E（﹣4，0，0），G（0，0，），C（0，12，0），
F（﹣4，9，0），B（0，3，），
，．
设平面BCF的一个法向量为，
则由，取z=，得．
，∴．
∵EG⊄平面BCF，∴EG∥平面BCF；
（Ⅱ）解：连接BD，BE，
则VABCDEF=VB﹣CDEF+VB﹣ADE==．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量证明线面平行，训练了多面体体积的求法，是中档题．
20．（12分）（2017•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： +
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=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．
（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+=，并说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式求得d==1，即可求得m的值，由点A，B都在坐标轴的正半轴上，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求得m2=r2（1+k2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x1x2+y1y2=0，即可求得a，b与r的关系．
【解答】解：（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，则切线l：y=﹣x+m，即2y+x﹣2m=0，
由圆心到l的距离d==1，解得：m=±，
点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，
∴直线l：y=﹣x+，
∴A（0，），B（，0），
∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，
则a=，b=，
∴椭圆方程为：；
（Ⅱ）a，b，r满足+=成立，
理由如下：设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
直线l与圆x2+y2=r2相切，
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则=r，即m2=r2（1+k2），①
则，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．
则x1+x2=﹣，x1x2=，
所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB=90°，则⊥=0，
∴x1x2+y1y2=+==0，
则（a2+b2）m2=a2b2（1+k2），②
将①代入②，=，
∴+=．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017•成都模拟）已知函数f（x）=（a+）lnx﹣x+，其中a＞0．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；
（Ⅱ）设a∈（1，e]，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）时，记f（x2）﹣f（x1）的最大值为M（a），那么M（a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由此根据a=1，a＞
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0且a≠1，利用导数性质进行分类讨论，能求出a的取值范围．
（Ⅱ）当a∈（1，e]时，，f（x）在（0，）上单调递减，在（，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，对∀x1∈（0，1），有f（x1）≥f（），对∀x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（a），从而[f（x2）﹣f（x1）]max=f（a）﹣f（），由此能求出M（a）存在最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a+）lnx﹣x+，其中a＞0，
∴=，x∈（0，+∞），
①当a=1时，≤0，
f（x）在（0，+∞）上单调递减，不存在极值点；
②当a＞0时，且a≠1时，f′（a）=f′（）=0，
经检验a，均为f（x）的极值点，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
（Ⅱ）当a∈（1，e]时，，
f（x）在（0，）上单调递减，在（，a）上单调递增，
在（a，+∞）上单调递减，
对∀x1∈（0，1），有f（x1）≥f（），对∀x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（a），
∴[f（x2）﹣f（x1）]max=f（a）﹣f（），
∴M（a）=f（a）﹣f（）
=[（a+）lna﹣a+]﹣[（a+）ln﹣+a]
=2[（a+）lna﹣a+]，a∈（1，e]，
M′（a）=2（1﹣）lna+2（a+）+2（﹣1﹣）
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=2（1﹣）lna，a∈（1，e]．
∴M′（a）＞0．即M（a）在（1，e]上单调递增，
∴[M（a）]max=M（e）=2（e+）+2（）=，
∴M（a）存在最大值．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）（2017•成都模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，θ），其中θ∈（，π）
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程，利用点A的极坐标为（2，θ），θ∈（，π），即可求θ的值；
（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求出A，B的坐标，即可求|AB|的值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为x2+（y﹣2）2=4，极坐标方程为ρ=4sinθ，
∵点A的极坐标为（2，θ），θ∈（，π），∴θ=；
（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+y﹣4
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=0，
点A的直角坐标为（﹣，3），射线OA的方程为y=﹣x，
代入x+y﹣4=0，可得B（﹣2，6），∴|AB|==2．
【点评】本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|
（Ⅰ）求不等式f（x+）≥0的解集；
（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（I）由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；
（Ⅱ）运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x+）≥0，即|x+|+|x﹣|≤4，
x≤﹣，不等式可化为﹣x﹣﹣x+≤4，∴x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣；
﹣＜x＜，不等式可化为x+﹣x+≤4恒成立；
x≥，不等式可化为x++x﹣≤4，∴x≤2，∴≤x≤2，
综上所述，不等式的解集为[﹣2，2]；
（Ⅱ）∵（++）（3p+2q+r）≥（1+1+1）2=9， ++=4
∴3p+2q+r≥，∴3p+2q+r的最小值为．
【点评】本题考查不等式的解法，考查运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．
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