2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷（四）含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 绝密 ★ 启用前 江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学（四）‎ 本试题卷共16页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ 所以，选B．‎ ‎2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A．－6 B．－2 C．4 D．6 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，，即，解得，故选A．‎ ‎3．下列说法正确的是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”的否定是“，”‎ C．命题“若，则”的逆命题为真命题 D．命题“若，则或”为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】选项A：，所以“”是其必要不充分条件；选项B：命题“，”的否定是“，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎”；选项C：命题“若，则”的逆命题是“若，则”，当时，不成立；选项D：其逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题为真，故选D．‎ ‎4．函数的图象与轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数的图象，只要将的图象（ ）个单位 A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，知函数的最小正周期，所以，所以＝，所以要得到函数的图象，只要将的图象向左平移，故选C．‎ ‎5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）‎ A．7 B．12 C．17 D．34‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一次循环，得；第二次循环，得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎；第三次循环，得，此时不满足循环条件，退出循环，输出，故选C．‎ ‎6．三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，由题可知矩形的中心为该三棱柱外接球的球心，．‎ ‎∴该球的表面积为．选C．‎ ‎7．正方体中为棱的中点（如图），用过点，，的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）‎ ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得剩余几何体的左视图应是选项C．‎ ‎8．已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．6 B．12 C．13 D．14‎ ‎【答案】B ‎【解析】实数满足的区域为椭圆及其内部，椭圆的参数方程为（为参数），记目标函数，易知，，故．设椭圆上的点，则，其中，所以的最大值为12，故选B．‎ ‎9．函数的零点个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数的零点个数为2，故选B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10． 为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 如图所示，记，与的内切圆相切于点，，则，，，，则，则，则，所以，因为即，所以，故选A．‎ ‎11．]如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，···，，记，则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为与垂直，设垂足为，所以在投影为，，从而的值，为选D．‎ ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数是定义在上的函数，所以有，‎ 不等式可变形为：，‎ 构造函数，，所以在上单增，由，可得，故选A．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．设，满足约束条件，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数过点时，取得最小值，此时最小值为；当目标函数过点时，取得最大值，此时最小值为，所以的取值范围为．‎ ‎14．若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为，则二项式的展开式中含项的系数为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题知，所以，则由题知，所以项的系数为，应填答案．‎ ‎15．已知平面向量满足，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】不妨设，，，则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，∴，∴，‎ ‎，‎ ‎∴，当且仅当，即时“＝”成立．‎ ‎16．]已知函数，数列中，，则数列的前100项之和__________．‎ ‎【答案】10200‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 同理可得： ‎ ‎∴，‎ ‎∴的前100项之和．‎ 故答案为：10200．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）如图，在中，角，，的对边分别为，，，．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）在中，．‎ 有，，‎ ‎∴，，则，‎ 即；，则．‎ ‎（2）在中，，，‎ ‎∴．‎ 又，则为等腰直角三角形，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 当时，四边形的面积有最大值，最大值为 ‎18．（本小题满分12分北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1:4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．‎ 附：，其中．‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非围棋迷 围棋迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：‎ 因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关．‎ ‎（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为．由题意，从而的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图1，在中，是边的中点，现把沿折成如图2所示的三棱锥，使得．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析，（2）．‎ ‎【解析】（1）在图1中，取的中点，连接交于，则，‎ 在图2中，取的中点，连接，，因为，‎ 所以，且， ‎ 在中，由余弦定理有，‎ 所以，所以． ‎ 又，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）因为平面，且，故可如图建立空间直角坐标系，则 ‎，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，则由得；‎ 同理可求得平面的法向量为， ‎ 故所求角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，求的面积；‎ ‎（3）若线段的中点在轴上，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆：，过点，‎ 为椭圆的半焦距，且，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，且，‎ 所以，解得，，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）设方程为，‎ 由整理得，‎ 因为，解得，‎ 当时，用代替，得，‎ 将代入，得，．‎ 因为，所以，，‎ 所以的面积为．‎ ‎（3）设，，则 两式相减得，‎ 因为线段的中点在轴上，‎ 所以，从而可得，‎ 若，则，‎ ‎∵，所以，得．‎ 又因为，所以解得 ，‎ 所以，或， ，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以直线方程为．‎ 若，则，‎ 因为，所以，得，‎ 又因为，所以解得或，‎ 经检验：满足条件，不满足条件．‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎21．（本小题满分12分）记表示中的最大值，如．已知函数．‎ ‎（1）设，求函数在上零点的个数；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）设，令，得递增；令，得递减，∴，∴，即，∴．设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 上有两个交点，即在上零点的个数为2（或由方程在上有两根可得）‎ ‎（2）假设存在实数，使得对恒成立，‎ 则，对恒成立，‎ 即，对恒成立 ， ‎ ‎①设，，‎ 令，得递增；令，得递减，‎ ‎∴，‎ 当即时，，‎ ‎∴，∵，∴．‎ 故当时，对恒成立，． ‎ 当即时，在上递减，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，‎ 故当时，对恒成立． ‎ ‎②若对恒成立，则，∴ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由①及②得，．‎ 故存在实数，使得对恒成立，‎ 且的取值范围为． ‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，将曲线（为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意知，曲线的参数方程为（为参数），‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）设点，的极坐标分别为，，‎ 则由可得的极坐标为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由可得的极坐标为．‎ ‎∵，∴，‎ 又到直线的距离为，‎ ‎∴．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求的图象与轴围成的三角形面积；‎ ‎（2）设，若对恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的图象与轴围成的三角形面积是．‎ ‎（2）∵，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴当且仅当时，有最小值．‎ 又由（1）可知，对，．‎ 恒有成立，‎ 等价于，，‎ 等价于，即，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费