2017年苏州市中考数学二轮复习专题《开放性问题》.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年中考数学二轮复习专题《开放性问题》‎ 题型概述 ‎ 【题型特征】一个数学问题系统中，通常包括已知条件、解题依据、方法和结论。如果这些部分齐备，称之为封闭性问题.若不完全齐备，称之为开放性问题，数学开放题就是指那些条件不完整，结论不确定，解法不限制的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一.‎ ‎ 常见的开放性问题有:(1)条件开放型;(2)结论开放型;(3)策略开放型;(4)综合开放型.‎ ‎ 【解题策略】(1)条件开放型，指结论给定，条件未知或不全，需要探求结论成立的条件，且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.‎ ‎ 解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，挖掘条件，逆向追索，逐步探求，最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.‎ ‎ (2)结论开放型，指条件充分给定，结论未知或不全，需要探求，整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中，以解答题居多.‎ ‎ 解结论开放型问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.‎ ‎ (3)策略开放型，是指题目的条件和结论都已知或部分已知，需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中，一般出现在阅读题、作图题和应用题中.‎ ‎ 解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.‎ ‎ (4)综合开放型，是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题.‎ ‎ 解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.‎ 考点解析 类型一 条件开放型 ‎ 典例1 (2016·黑龙江)如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接请你添加一个条件 ，使四边形是矩形.‎ ‎ 【解析】这是一道条件开放型的问题，采用分类讨论法解答.解这种开放问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.‎ ‎ 【全解】添加.理由如下:‎ ‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎ ，且.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ .‎ ‎ 又，‎ ‎ .‎ 四边形为平行四边形.‎ 又,‎ 四边形是矩形.‎ 故答案是.‎ ‎1.(2015·广东梅州)已知，在中，点是边的中点，点在边上，若以 为顶点的三角形与相似，则需要增加的一个条件是 .(写出一个即可)‎ ‎ 【考情小结】解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键.‎ 类型二 结论开放型 ‎ 典例2 (2015·浙江杭州)设函数 (是常数).‎ ‎ (1)当取1和2时的函数和的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当取0时函数的图象;‎ ‎ (2)根据图象，写出你发现的一条结论;‎ ‎ (3)将函数的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象，求函数的最小值.‎ ‎【全解】(1)作图如图:‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ (2)函数(是常数)的图象都经过点(1,0)和(－1,4).‎ ‎ (3)，‎ ‎ 将函数的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数为.‎ ‎ 当时，函数的最小值为－2.‎ ‎2.(2016·北京)右图中四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式: .‎ ‎3.(2016·湖北荆州)请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形(只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记).‎ ‎ 【考情小结】论开放题与常规题的相同点是:它们都给出了已知条件(题设)，要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱，结论通常在两个以上，解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与，而后者答案一般只有一个，解题目标大多比较明确.‎ 类型三 策略开放型 ‎ 典例3 (2015·黑龙江哈尔滨)图(1)，图(2)是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.‎ ‎ (1)在图(1)中画出等腰直角三角形，使点在格点上，且;‎ ‎ (2)在图(2)中以格点为顶点画出一个正方形，使正方形面积等于(1)中等腰直角三角形面积的4倍，并将正方形分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角和一个正方形，且正方形面积没有剩余(画出一种即可).‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】(1)如图(1)所示:‎ ‎(2)如图(2)所示:‎ ‎4.(2015·山东枣庄)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有( ).‎ ‎ A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 ‎ 【考情小结】解策略型开放题时，要对已有条件进行发散联想，努力提出满足条件和要求的各种方案和设想，并认真加以研究和验证，直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想，作多方面设计与思考.‎ 类型四 综合开放型 ‎ 典例4 (2016·黑龙江)已知，点是平行四边形对角线所在直线上的一个动点(点不与点重合)，分别过点向直线作垂线，垂足分别为点，点为的中点.‎ ‎ (1)当点与点重合时如图(1)，易证.(不需证明)‎ ‎ (2)直线绕点逆时针方向旋转，当时，如图(2)、图(3)的位置，猜想线段之间有怎样的数量关系?请写出你对图(2)、图(3)的猜想，并选择一种情况给予证明.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 【解析】(1)由即可得出结论.‎ ‎ (2)图(2)中的结论为: ，延长交于点，只要证明是等边三角形，即可解决问题.‎ ‎ 图(3)中的结论为:,延长交的延长线于点，证明方法类似.‎ ‎ 【全解】(1),‎ ‎ .‎ ‎ 在和中，，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎ (2)图(2)中的结论为:.‎ 图(3)中的结论为:.‎ 选图(2)中的结论证明如下:‎ 延长交于点，如图(4)所示.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ 在和中，，‎ ‎.‎ ‎.‎ 在Rt中， ,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ 是等边三角形.‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎5.(2014·湘南湘潭)为等边三角形，边长为.‎ ‎ (1)求证: ∽;‎ ‎ (2)若，设，四边形面积为，求出与之间的函数关系，并探究当为何值时取最大值;‎ ‎(3)已知四点共圆，已知，求此圆直径.‎ ‎【考情小结】考试时，对于综合开放题，若没有其他要求，可选用简单情型的进行解答.‎ 参考答案 ‎1.或.‎ ‎2.(答案不唯一)‎ ‎3.答案不唯一，‎ ‎ 如图所示.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4. C ‎5. (1) ,‎ ‎ .‎ ‎ 为等边三角形，‎ ‎ .‎ ‎ ∽.‎ ‎(2)当时，取最大值，最大值为.‎ 与之间的函数关系为 (其中).‎ 当m=2时，S取到最大值，最大值为.‎ ‎(3)此圆直径为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费