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海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理科）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B． C．， D．，
3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．8
4.设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
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6.已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ）
A．12 B．40 C．60 D．80
8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：
项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；
项目②：打开过程中（如图2），检查；
项目③：打开过程中（如图2），检查；
项目④：打开后（如图3），检查；
项目⑤：打开后（如图3），检查．
在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.若等比数列满足，，则公比 ，前项和 ．
10.已知，，满足的动点
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的轨迹方程为 ．
11.在中，．① ；②若，则 ．
12.若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为 ．
13.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是 ．
14.已知实数，，，满足，则的最大值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知是函数的一个零点．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间.
16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．
有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
天津
24
22
26
23
24
26
27
25
28
24
25
26
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上海
32
27
33
31
30
31
32
33
30
32
30
30
（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；
（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；
（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．
17.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；
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（Ⅲ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
18.已知函数，其中实数．
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．
19.已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．
（Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；
（Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
20.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．
（Ⅰ）写出，的值；
（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；
（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．
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海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案
一、选择题
1-5: 6-8:
二、填空题
9.2， 10. 11.90， 12.120 13. 14.
三、解答题
15.解：（Ⅰ）由题意可知，即，
即，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
函数的递增区间为，．
由，，
得，，
所以，的单调递增区间为，．
16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，
因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大．
（Ⅱ）设事件：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．
根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，
其中超过55百万吨的月份有8个，
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所以，．
（Ⅲ）的数学期望．
17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，平面，
故，
由平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（Ⅱ）证明：在直三棱柱中，平面，
所以，，
又，
所以，如图建立空间直角坐标系，
依据已知条件可得，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由即
令，则，，于是，
因为为中点，所以，所以，
由，可得，
所以与平面所成角为0，
即平面．
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（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面的法向量为．
设，，
则，．
若直线与平面成角为，则
，
解得，
故不存在这样的点．
18.解：（Ⅰ）由可得函数定义域为．
，
令，经验证，
因为，所以的判别式，
由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，
所以是的异号零点，
所以是函数的极值点．
（Ⅱ）已知，
因为，
又因为，所以，
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所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；
当时，在区间上，所以函数单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以时，有在区间恒成立．
19.解：（Ⅰ）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，
设，，
由解得
所以中点，
于是直线的斜率为．
（Ⅱ）假设存在直线，使得成立．
当直线的斜率不存在时，的中点，
所以，，矛盾；
故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，
得，
设，，则，，
于是，
点的坐标为，
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.
直线的方程为，联立椭圆的方程，得，
设，则，
由题知，，
即，
化简，得，故，
所以直线的方程为，.
20.解：（Ⅰ），.
（Ⅱ）先证必要性：
因为，，又，，…，成等差数列，故，所以；
再证充分性：
因为，，，…，为正整数数列，故有
，， ，，…，，
所以，
又，故（，，…，），故，，…，为等差数列．
（Ⅲ）先证明（，，…，）．
假设存在，且为最小的正整数．
依题意，则，，又因为，
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故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．
故假设不成立，即（，，…，）成立．
因此，
即，所以．
因为，则，
若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，
故，即.
此时可构造集合.
因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
……
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，
所以集合满足题设，
所以当取最小值11时，的最大值为．
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