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数学试题（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A． B．
C. D．
2．已知,则“”是“指数函数在上
为减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是（ ）
A. 10 B． 12
C. 100 D． 102
4.函数在区间上是增函数，
且，则函数在 上（ ）
A. 是增函数 B.是减函数
C.可以取得最大值 D.可以取得最小值－
正视图
侧视图
俯视图
（第5题）
5．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长
与圆的直径均为2，则该几何体的体积为( )
A． B．
C． D．
6．已知点在曲线上，为曲线在点
处的切线的倾斜角，则的范围是 ( )
A．[0,) B． C． D．
7．抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过且倾斜角等于60°的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则四边形的面积等于( )
A． B． C． D．
8．的值为( )
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A. B. C. D.
9．如图，三行三列的方阵有9个数从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )
A . B. C. D.
10．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则 （ ）
A． B． C． D．
11．设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是 ( )
A. B． C. D．
12．在中，角的对边分别记为，且，都是方程的根，则（ ）
A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形
C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）
13． 设集合，则满足,则的取值范围是
14．已知满足，记目标函数的最大值为7，则
15．正方体的棱长为，是正方体内切球的直径，为正方体表面上的动点，则的最大值为________
16. 已知函数, 当时，不等式恒成立， 则实数的取值范围为
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三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分12分）
在中，角的对边分别是，已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求边的值．
18. (本小题满分12分)
如图，在三棱锥中，直线平面，且，又点，，分别是线段，，的中点，且点是线段上的动点.
(Ⅰ)证明：直线平面；
(Ⅱ)若=8，且二面角的平面角的
余弦值为，试求的长度.
19. (本小题满分12分)
在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．
（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
20.(本小题满分12分)
如图，曲线：与正方形：的边界相切.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)设直线：交曲线于，，交于，，
是否存在 这样的曲线，使得，，成等差数
列？若存在，求 出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。
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21．(本小题满分12分)设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间，使在上的值域是，求的取值范围.
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请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，是的直径，是上的点，是的平分线，过点作，交的延长线于点。
(1)求证：是的切线。
(2)过点作，垂足为，求证：。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线（为参数）
（1）当时，求直线的斜率；
（2）若是圆： 内部一点，与圆交于两点，且 成等比数列，求动点的轨迹方程．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设不等式的解集为, 且.
(Ⅰ) 试比较与的大小;
(Ⅱ) 设表示数集中的最大数, 且, 求的范围.
数学（理） 参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
B
B
C
A
D
C
D
D
C
C
B
二、填空题
13、或或 14、-2 15、 16、（-，2]
三、解答题
17、（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由及正弦定理得
即
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又所以有
即而，所以
（Ⅱ）由及，得 因此．
由条件得，
即得
得由知
于是或所以，或
若则在直角中，，解
若在直角中，解得
因此所求或
18、解：(Ⅰ)连结QM，因为点，，分别是线段，，的中点
所以QM∥PA 且MN∥AC，从而QM∥平面PAC 且MN∥平面PAC
又因为MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC 而QK平面QMN,所以QK∥平面PAC
(Ⅱ)以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，
则A（0,8,0），M（0,4,0），N（4,0,0），P(0,8,8)，Q(0,4,4) ，
设K（a,b,0）,则a+b=4, =(0,-4,4)，
记，则
取则，则，
又平面AKM的一个法向量，
设二面角的平面角为 则|cos
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|=，解得， 所以所以的长度为。
19、解：（Ⅰ）、可能的取值为、、， ，，
，且当或时，． 因此，随机变量的最大值为．
有放回抽两张卡片的所有情况有种，．
答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为．
（Ⅱ）的所有取值为．
时，只有这一种情况，
时，有或或或四种情况，
时，有或两种情况．
，，．
则随机变量的分布列为：
因此，数学期望．
20、解：(Ⅰ)由题，得，
有⊿=，化简的
又，所以 从而有；
(Ⅱ)由，，即由，
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由可得且，
所以 可得，
从而 所以，即有，符合， 故当实数的取值范围是时，存在直线和曲线，使得，，成等差数列。
21、解：令，则，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为。所以，所以的单调递增区间为
另解：，
所以的单调递增区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得在区间递增，在上的值域是
所以 则 在上至少有两个不同的正根，
，令
求导，得，令
则 所以在递增，.
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当时，，当时，
所以在上递减，在上递增，结合图象可得：
22. 解：(1)连OC ∵OA=OC ∴∠OCA=∠OAC ∵∠FAC=∠OAC
∴∠OCA=∠FAC ∴OC∥AD ∵AD⊥CD ∴OC⊥CD ∴CD是圆O的切线
(2)∵AC平分∠FAB CM⊥AB CD⊥AF ∴CD=CM
又根据切割线定理有CD2=DF·DA
∵△ACB为直角三角形且CM⊥AB
∴CM2=AM·MB ∴AM·MB=DF·DA
23. （1）直线的斜率，∵，∴
（2）设两点对应的参数分别为，把直线的方程代入圆O的方程中，得：
，整理得：
∴
又∵成等比数列，∴
∴ 即 ∴动点P的轨迹方程为。
24. 解： （Ⅰ），
（Ⅱ）
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