2017年成都市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析.doc

www.ks5u.com ‎2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．已知复数z=，则z的共轭复数是（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i ‎2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．3 D．6‎ ‎3．已知向量， =（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（　　）‎ A． B． C．20 D．40‎ ‎6．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=（　　）‎ A．﹣16 B．﹣6 C． D．6‎ ‎7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则 的值为（　　）‎ A． B． C．4 D．6‎ ‎8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：‎ ‎①EP⊥AC；‎ ‎②EP∥BD；‎ ‎③EP∥面SBD；‎ ‎④EP⊥面SAC，‎ 其中恒成立的为（　　）‎ A．①③ B．③④ C．①② D．②③④‎ ‎9．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B． C．1 D．2‎ ‎10．已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则的最大值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若对∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求的最大值与最小值之和是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积是　　．‎ ‎14．已知角的始边是x轴非负半轴．其终边经过点，则sinα的值为　　．‎ ‎15．在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是　　．‎ ‎16．数列{an}满足，，且，则4a2018﹣a1的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：‎ 年龄 ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[‎ ‎55，65]‎ 支持“延迟退休”人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 合计 支持 不支持 合计 ‎（Ⅱ）若从年龄在[45，55），[55，65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎18．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．‎ ‎（Ⅰ）证明：b+c=2a；‎ ‎（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．‎ ‎19．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AC1⊥平面ABC，，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D是AA1的中点．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面AB1；‎ ‎（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1﹣A的大小为．‎ ‎20．已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．‎ ‎（1）求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．‎ ‎22．直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足|BM|=2|AM|，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1．已知复数z=，则z的共轭复数是（　　）‎ A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．‎ ‎【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．‎ ‎【解答】解：复数z==‎ 所以它的共轭复数为：1﹣i 故选A ‎　‎ ‎2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．3 D．6‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用等差数列的通项公式即可求出答案．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2．‎ 则a3=a1+2d=2+2×（﹣2）=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．已知向量， =（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，即可得出．‎ ‎【解答】解： =（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．‎ 由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，⇔m=﹣6．‎ 因此“m=﹣6”是“”的充要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】解不等式f（x）＜2的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵log2x，x∈（0，5）．‎ ‎∴由f（x）＜2，‎ 得log2x＜2‎ 解得0＜x＜4，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可得若从区间（0，5）内随机选取一个实数x，‎ f（x）＜2的概率为： =，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（　　）‎ A． B． C．20 D．40‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：‎ 该几何体是四棱锥，如图：‎ 其中SA⊥平面ABCD，SA=4，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=4，BC=1．‎ ‎∴几何体的体积V=××（1+4）×4×4=．‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=（　　）‎ A．﹣16 B．﹣6 C． D．6‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件 ‎（k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．‎ ‎【解答】解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如下图：‎ 由于目标函数z=x+3y的最大值为8，‎ 可得直线y=x与直线8=x+3y的交点A（2，2），‎ 使目标函数z=x+3y取得最大值，‎ 将x=2，y=2代入2x+y+k=0得：k=﹣6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（　　）‎ A． B． C．4 D．6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知的程序框图可知程序的功能是：计算并输出分段函数的值，比较a，b的值，即可计算得解．‎ ‎【解答】解：由已知的程序框图可知本程序的功能是：‎ 计算并输出分段函数S=的值，‎ ‎∵a=，∴log100a=lg，‎ ‎∴=lg，∴lga=lg，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵b=log98•log4=••=••=，‎ 可得：a＞b，‎ ‎∴S=×（﹣）=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：‎ ‎①EP⊥AC；‎ ‎②EP∥BD；‎ ‎③EP∥面SBD；‎ ‎④EP⊥面SAC，‎ 其中恒成立的为（　　）‎ A．①③ B．③④ C．①② D．②③④‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．‎ ‎（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．‎ ‎（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；‎ ‎（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；‎ ‎（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．‎ ‎【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．‎ 对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．‎ ‎∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，‎ ‎∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．‎ 对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；‎ 对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．‎ 对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．若曲线y=‎ 与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B． C．1 D．2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．‎ 曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．‎ 曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，‎ 可得，并且t=，t=alns，‎ 即，解得lns=，解得s2=e．‎ 可得a=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则的最大值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】首先，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值．‎ ‎【解答】解：如图所示，以边AB所在直线为x轴，‎ 以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，‎ ‎∵该正三角形ABC的边长为2，‎ ‎∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），‎ E（0，﹣1），F（0，3），‎ 当点M在边AB上时，设点M（x0，0），‎ 则﹣≤x0≤，‎ ‎∵=（﹣x0，﹣1），=（x0，﹣3），‎ ‎∴•=﹣x02+3，‎ ‎∵﹣≤x0≤，‎ ‎∴•的最大值为3，‎ 当点M在边BC上时，‎ ‎∵直线BC的斜率为﹣，‎ ‎∴直线BC的方程为： x+y﹣3=0，‎ 设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，‎ ‎∵=（﹣x0， x0﹣4），=（x0， x0），‎ ‎∴•=2x02﹣4x0，‎ ‎∵0≤x0≤，‎ ‎∴•的最大值为0，‎ 当点M在边AC上时，‎ ‎∵直线AC的斜率为，‎ ‎∴直线AC的方程为： x﹣y+3=0，‎ 设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，‎ ‎∵=（﹣x0，﹣x0﹣4），=（x0， x0），‎ ‎∴•=﹣4x02﹣4x0，‎ ‎∵﹣≤x0≤0，‎ ‎∴•的最大值为3，‎ 综上，最大值为3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cos∠AF1F2，os∠BF2F1，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：连接BF1，AF2，‎ 由双曲线的定义，可得|AF2|﹣|AF1|=2a，‎ ‎|BF1|﹣|BF2|=2a，‎ 由|BF1|=|AF1|=2c，‎ 可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，‎ 在△AF1F2中，可得cos∠AF1F2==，‎ 在△BF1F2中，可得cos∠BF2F1==，‎ 由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，‎ 可得+=0，‎ 化为2c2﹣3ac﹣a2=0，‎ 得2e2﹣3e﹣1=0，解得e=（负的舍去），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．若对∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求的最大值与最小值之和是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】构造h（x）=g（x）﹣3，根据函数奇偶性的定义可判定函数h（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，‎ ‎∴令m=n=0时，g（0）=g（0）+g（0）﹣3，‎ ‎∴g（0）=3，‎ 令m=﹣n时，g（0）=g（﹣n）+g（n）﹣3，‎ ‎∴g（x）+g（﹣x）=6，‎ 令h（x）=g（x）﹣3，则h（x）+h（﹣x）=0即h（x）为奇函数，‎ 奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，∴g（x）max+g（﹣x）min=6，‎ 设F（x）=，则F（﹣x）=﹣F（x），函数为奇函数，最大值与最小值之和为0，‎ ‎∴．的最大值与最小值之和是6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积是　ln2　．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】先确定积分上限为2，积分下限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．‎ ‎【解答】解：曲线，直线x=1和x=2及x轴围成的封闭图形的面积=lnx|12=ln2，‎ 故答案为：ln2．‎ ‎　‎ ‎14．已知角的始边是x轴非负半轴．其终边经过点，则sinα的值为　　．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】由题意，sin（）=﹣，cos（）=﹣，利用sinα=sin（﹣）=sin（）cos﹣cos（）sin，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，sin（）=﹣，cos（）=﹣‎ ‎∴sinα=sin（﹣）=sin（）cos﹣cos（）sin=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．在直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的非零横坐标是　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相切，根据两圆的半径长，能求出结果．‎ ‎【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，‎ 化简得：x2+（y+1）2=4，‎ ‎∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，‎ 又∵点M在圆C上，圆C上存在唯一一点M，使|MA|=2|MO|，‎ ‎∴圆C与圆D相切，‎ ‎∴|CD|=1或CD=3，‎ ‎∵|CD|=，∴解得a=0或a=．‎ ‎∴圆心C的非零横坐标是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．数列{an}满足，，且，则4a2018﹣a1的最大值为　﹣　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】先由数列的递推公式得到=﹣，再用累加法求出得++…+=﹣，根据，得到a2018=﹣，‎ 再根据基本不等式即可求出最值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴an+1﹣1=an（an﹣1），‎ ‎∴==﹣，‎ ‎∴=﹣，‎ ‎∴=﹣，‎ ‎=﹣，‎ ‎…，‎ 累加可得++…+=﹣，‎ ‎∵，‎ ‎∴﹣=2，‎ ‎∴﹣2=，‎ 即a2018=+1==﹣，‎ ‎∵a1＞，‎ ‎∴2a1﹣3＞0，‎ ‎∴4a2018﹣a1=2﹣﹣a1=2﹣（+）≤2﹣2﹣=2﹣2﹣=﹣，当且仅当a1=取等号，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：‎ 年龄 ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[‎ ‎55，65]‎ 支持“延迟退休”人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（Ⅰ）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 合计 支持 不支持 合计 ‎（Ⅱ）若从年龄在[45，55），[55，65]的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=．‎ ‎【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；‎ ‎（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 合计 支持 ‎ 25‎ ‎ 3‎ ‎ 28‎ 不支持 ‎ 15‎ ‎ 7‎ ‎ 22‎ 合计 ‎40 ‎ ‎10 ‎ ‎50 ‎ K2=≈3.429＞2.706，‎ 所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ ‎（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，‎ P（ξ=0）==，‎ P（ξ=1）=+=，‎ P（ξ=2）=+=，‎ P（ξ=3）==，‎ 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．‎ ‎（Ⅰ）证明：b+c=2a；‎ ‎（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知，解之可得ω，代入已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；‎ ‎（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得，可化简为，由θ的范围可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，解得…‎ ‎∵，‎ ‎∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA，‎ ‎∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，‎ ‎∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…‎ ‎∴sinC+sinB=2sinA，‎ ‎∴b+c=2a…‎ ‎（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，‎ ‎∴…‎ ‎=…‎ ‎==，…‎ ‎∵θ∈（0，π），∴，‎ 当且仅当，即时取最大值，SOACB的最大值为…‎ ‎　‎ ‎19．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AC1⊥平面ABC，，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D是AA1的中点．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面AB1；‎ ‎（2）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1﹣A的大小为．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1．即可证明：CD⊥平面AB1；‎ ‎（2）求出平面的法向量，利用二面角E﹣A1C1﹣A的大小为，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC，‎ ‎∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；‎ 又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1．‎ ‎∴CD⊥面ABB1A1．‎ ‎（2）解：如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（﹣a，0，a），‎ 设E（x，y，z），且，即有（x﹣a，y﹣a，z）=λ（﹣a，0，a），‎ 所以E点坐标为（（1﹣λ）a，a，λa）．‎ 由条件易得面A1C1A的一个法向量为．‎ 设平面EA1C1的一个法向量为，‎ 由可得，‎ 令y=1，则有，‎ 则=，得．‎ 所以，当时，二面角E﹣A1C1﹣A的大小为．‎ ‎　‎ ‎20．已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．‎ ‎（1）求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用，化简可得动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）则HN所在直线的方程为，确定交点M、N的坐标，求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则，，‎ ‎∵，∴，化简得，‎ ‎∴动点P的轨迹E的方程为（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣．‎ ‎（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），‎ 由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）‎ 则HN所在直线的方程为，由求得交点M，（另一交点H（0，1））‎ ‎∴，‎ 用代替上式中的k，得，‎ 由|HM|=|HN|，得k（4+k2）=1+4k2，‎ ‎∴k3﹣4k2+4k﹣1=0⇒（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，‎ 解得：k=1或，‎ 当HM斜率k=1时，HN斜率﹣1；当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率时，HN斜率，‎ 综上述，符合条件的三角形有3个．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，‎ ‎（II）根据）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]‎ 上不单调，并且有，从而求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴（1）当2﹣a≤0即a≥2时f'（x）＜0恒成立．‎ ‎（2）当2﹣a＞0即a＜2时，由f'（x）＜0，得；‎ 由f'（x）＞0，得．‎ 因此：当a≥2时函数f（x）的单调减区间是（0，+∞）；‎ 当a＜2时，函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是 ‎（II）∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，‎ ‎∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，‎ 又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，‎ ‎∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．‎ 由（Ⅰ）知当a≥2时函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，不合题意，‎ ‎∴a＜2，并且，即①‎ ‎∵x→0时f（x）→+∞，故对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同xi（i=1，2），‎ 使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足，‎ 注意到f（1）=0，故只要f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2≥1，即②‎ 由①②知，所求的a得取值范围是 ‎　‎ ‎22．直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足|BM|=2|AM|，求直线l的方程．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）消去参数，即可求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）利用参数的几何意义，即可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，曲线C的参数方程为（θ为参数），曲线C的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）设直线l的参数方程为（∂为参数）代入曲线C的方程有：（7sin2∂+9）t2+32sin∂t﹣128=0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t2=﹣2t1，‎ 则，，‎ ‎∴sin2∂=1，‎ ‎∴直线l的方程为：x=0．‎ ‎　‎ ‎2017年4月13日