2017年中考数学《多边形和平行四边形》专题练习含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 多边形和平行四边形 ‎　‎ 一、填空题 ‎1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=‎5cm，BC=‎7cm，则∠D=　　度，□ABCD的周长为　　cm．‎ ‎2．如图：□ABCD的周长是‎28cm，△ABC的周长是‎22cm，则AC的长为　　cm．‎ ‎3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　．‎ ‎　‎ 二、选择题 ‎4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）‎ ‎5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）‎ A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（　　）‎ A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S‎3 ‎C．S1S4=S2S3 D．都不对 ‎7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC ‎　‎ 三、解答题 ‎8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；‎ ‎（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．‎ ‎9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．‎ ‎（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；‎ ‎（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．‎ ‎（1）求证：四边形AECG是平行四边形；‎ ‎（2）若AB=‎4cm，BC=‎3cm，求线段EF的长．‎ ‎11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=‎4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒‎1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．‎ ‎（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；‎ ‎（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒‎1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒‎2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．‎ ‎①求S关于t的函数关系式；‎ ‎②（附加题）求S的最大值．‎ ‎12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；‎ ‎（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：‎ ‎①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是　　；‎ ‎②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是　　．‎ ‎13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．‎ ‎（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．‎ ‎（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）‎ ‎（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．‎ ‎（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）‎ ‎14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 探究：‎ ‎（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；‎ ‎（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；‎ ‎（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；‎ 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；‎ ‎（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）‎ ‎（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 多边形和平行四边形 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题 ‎1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=‎5cm，BC=‎7cm，则∠D=　50　度，□ABCD的周长为　‎24　cm．‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．‎ ‎【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠D=∠B ‎∵∠B=50°‎ ‎∴∠D=50°‎ ‎②∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，AB=CD ‎∵AB=‎5cm，BC=‎‎7cm ‎∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=‎24cm．‎ 故答案为50、24．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．‎ ‎　‎ ‎2．如图：□ABCD的周长是‎28cm，△ABC的周长是‎22cm，则AC的长为　‎8　cm．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=‎14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=‎8cm．‎ ‎【解答】解：∵□ABCD的周长是‎28 cm ‎∴AB+AD=‎‎14cm ‎∵△ABC的周长是‎22cm ‎∴AC=22﹣（AB+AC）=‎‎8cm 故答案为8．‎ ‎【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．‎ ‎　‎ ‎3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　2　．‎ ‎【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．‎ ‎【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F ‎∵在□ABCD，EF∥AB ‎∴AB=EF，AF=BE ‎∵∠FAE=∠BAE ‎∴△AFE≌△ABE ‎∴AB=BE=EF=AF ‎∴ABEF为菱形 ‎∴EC=AD﹣AB=2．‎ 故答案为：2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（　　）‎ A．（﹣3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）‎ ‎【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．‎ ‎【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．‎ ‎【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称 ‎∴C点坐标为（2，﹣3）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）‎ A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB ‎【考点】平行四边形的判定．‎ ‎【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；‎ ‎③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C ‎【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；‎ B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；‎ C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．‎ D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．‎ ‎　‎ ‎6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（　　）‎ A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S‎3 ‎C．S1S4=S2S3 D．都不对 ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【专题】应用题；压轴题．‎ ‎【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．‎ ‎【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，‎ 则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，‎ 因为DE=AF，EC=FB，‎ 故A错误；‎ S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，‎ S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故B错误；‎ S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，‎ S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，‎ 所以S1S4=S2S3，‎ 故C正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DF C．四边形AECD是等腰梯形 D．∠AEB=∠ADC ‎【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．‎ ‎【解答】解：A、∵AD∥BC ‎∴△AFD∽△EFB ‎∴===‎ 故S△AFD=4S△EFB；‎ B、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．‎ C、由∠AEC=∠DCE可知正确．‎ D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 三、解答题 ‎8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．‎ ‎（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；‎ ‎（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．‎ ‎【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题；探究型．‎ ‎【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．‎ ‎（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．‎ ‎∴∠ADE=∠CBF=60°．‎ ‎∵AE=AD，CF=CB，‎ ‎∴△AED，△CFB是正三角形．‎ ‎∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．‎ ‎∴四边形AFCE是平行四边形．‎ ‎（2）解：上述结论还成立．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．‎ ‎∴∠ADE=∠CBF．‎ ‎∵AE=AD，CF=CB，‎ ‎∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠AED=∠CFB．‎ 又∵AD=BC，‎ 在△ADE和△CBF中．‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（AAS）．‎ ‎∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．‎ 又∵∠DAB=∠BCD，‎ ‎∴∠EAF=∠FCE．‎ ‎∴四边形EAFC是平行四边形．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．‎ ‎　‎ ‎9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．‎ ‎（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；‎ ‎（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．‎ ‎【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题；探究型．‎ ‎【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．‎ ‎（2）推理类同于（1）．‎ ‎【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，‎ ‎∵AB∥CD，AC∥FG，‎ ‎∴四边形AFGC是平行四边形，‎ ‎∴AC=FG（平行四边形的对边相等），‎ ‎∵EG∥AC，‎ ‎∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；‎ 又∵OA=OC，‎ ‎∴PE=PG，‎ ‎∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；‎ ‎（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示 若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．‎ ‎．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．‎ ‎（1）求证：四边形AECG是平行四边形；‎ ‎（2）若AB=‎4cm，BC=‎3cm，求线段EF的长．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】几何综合题．‎ ‎【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；‎ ‎（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；‎ 解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．‎ ‎【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠BCA．‎ 由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．‎ ‎∴∠GAH=∠ECF，‎ ‎∴AG∥CE．‎ 又∵AE∥CG，‎ ‎∴四边形AECG是平行四边形．‎ ‎（2）解法1：在Rt△ABC中，‎ ‎∵AB=4，BC=3，‎ ‎∴AC=5．‎ ‎∵CF=CB=3，‎ ‎∴AF=2．‎ 在Rt△AEF中，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设EF=x，则AE=4﹣x．‎ 根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，‎ 即（4﹣x）2=22+x2．‎ 解得x=，即线段EF长为cm．‎ 解法2：‎ ‎∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，‎ ‎∴△AEF∽△ACB，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 解得，即线段EF长为cm．‎ ‎【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=‎4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒‎1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．‎ ‎（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；‎ ‎（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒‎1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒‎2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．‎ ‎①求S关于t的函数关系式；‎ ‎②（附加题）求S的最大值．‎ ‎【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；‎ ‎（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．‎ ‎②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．‎ ‎【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=‎2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）‎ ‎∴S△APE=；‎ ‎（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：‎ 设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，‎ 则AQ=t，AF=，QF=t，‎ AP=t+2，AG=1+，PG=+t．‎ ‎∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；‎ ‎②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：‎ 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，‎ DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，‎ ‎③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：‎ 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），‎ CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．‎ ‎∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）‎ 故S关于t的函数关系式为；‎ ‎②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）‎ 当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）‎ 当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）‎ 所以当t=8时，S有最大值为6．‎ ‎（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）‎ ‎【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．‎ ‎　‎ ‎12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．‎ ‎（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：‎ ‎①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是　S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或　；‎ ‎②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是　S1×S3=S2×S4或　．‎ ‎【考点】作图—应用与设计作图．‎ ‎【专题】压轴题；新定义；开放型．‎ ‎【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；‎ ‎（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．‎ ‎②S1×S3=S2×S4或等．‎ ‎【解答】解：（1）比如：‎ ‎（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．‎ ‎②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则=， =，‎ ‎∴S1×S3=S2×S4或等．‎ ‎【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．‎ ‎　‎ ‎13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．‎ ‎（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．‎ ‎（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）‎ ‎（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．‎ ‎（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）‎ ‎【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．‎ ‎【专题】压轴题；新定义．‎ ‎【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；‎ ‎（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；‎ ‎（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．‎ ‎【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）‎ ‎（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）‎ ‎（3）连接DB．‎ 在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．‎ ‎∴△DCF≌△BCE（AAS），‎ ‎∴CD=CB，‎ ‎∴∠CDB=∠CBD，‎ ‎∴∠PDB=∠PBD，‎ ‎∴PD=PB，‎ ‎∵PA≠PC，‎ ‎∴点P是四边形ABCD的准等距点．‎ ‎（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；‎ ‎②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；‎ ‎③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；‎ ‎④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．‎ ‎　‎ ‎14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．‎ 探究：‎ ‎（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；‎ ‎（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；‎ ‎（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；‎ 如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；‎ ‎（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）‎ ‎（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【专题】压轴题；探究型．‎ ‎【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．‎ ‎【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．‎ ‎（2）如图4，如图5．‎ ‎（3）方法一：‎ 如图6，‎ 连接BE，‎ ‎∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，‎ ‎∴△PMA≌△EMB．‎ ‎∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，‎ ‎∴PA∥BE．‎ ‎∵平行四边形PADC，‎ ‎∴PA∥DC，PA=DC．‎ ‎∴BE∥DC，BE=DC，‎ ‎∴四边形DEBC是平行四边形．‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC．‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∴DE⊥AC．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 方法二：‎ 如图7，连接BE，PB，AE，‎ ‎∵PM=ME，AM=MB，‎ ‎∴四边形PAEB是平行四边形．‎ ‎∴PA∥BE，PA=BE，‎ 余下部分同方法一：‎ 方法三：‎ 如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，‎ ‎∵平行四边形PADC，‎ ‎∴AN=NC，PN=ND．‎ ‎∵AM=BM，AN=NC，‎ ‎∴MN∥BC，MN=BC．‎ 又∵PN=ND，PM=ME，‎ ‎∴MN∥DE，MN=DE．‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC．‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴BC⊥AC．‎ ‎∴DE⊥AC．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费