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2017年 九年级数学中考 综合题练习
一、选择题：
1、若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
2、若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
3、如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
5、将一副三角板按图叠放，则△AOB与△COD的面积之比为（ ）
A．1： B．1：3 C．1： D．1：2
6、如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么OD长是（ ）
A．2 B． C．1 D．
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7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：
①a＜0，b＜0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；
⑤b2﹣4ac＞0；⑥4a+2b+c＞0；⑦a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10、如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
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A．2 B．4 C．4 D．8
11、如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是( )
A． B． C． D．
12、如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
13、已知直线y=kx+b经过点（2，3），则4k+2b﹣7= ．
14、已知一次函数y=ax+b，若2a+b=1，则它的图象必经过的一点坐标为 ．
15、如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=115°，则∠AOB= ．
16、如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD= ．
17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为 ．
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18、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m．
19、如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为 ．
20、抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．
21、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），该抛物线的对称轴为直线x=﹣1，若点C（﹣，y1），D（﹣，y2），E（，y3）均为函数图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为______．
22、如图，已知A（2，0），B（4，0），点P是直线y=x上一点，当PA+PB最小时，点P的坐标为 ．
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23、如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．
24、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 ．
25、如图，正方形ABCD内接于⊙O，AD=2，弦AE平分BC交BC于P，连接CE，则CE的长为 ．
26、如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 ．
27、如图所示，在△ABC中，BC=4，E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= ．
三、简答题：
28、已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
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29、如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
30、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
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31、某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个）
…
30
40
50
60
…
销售量y（万个）
…
5
4
3
2
…
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
32、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．
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（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4.2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．
33、已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．
（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．
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34、如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
参考答案
1、B 2、D． 3、A． 4、D． 5、B． 6、C． 7、D． 8、B. 9、C． 10、C． 11、A. 12、A．
13、答案为：﹣1． 14、答案为（2，1）． 15、答案为：130°．16、答案为：． 17、答案是：4．
18、答案为：5.5 ． 19、答案为：4． 20、答案为：x＞3或x＜﹣1． 21、答案为y3＜y1＜y2．
22、答案为：（，）．23、答案为：．24、答案为：80π﹣160 25、答案为． 26、答案为：_1
27、答案为：8
28、解：（1）直线AB是⊙O的切线．
理由如下：连接OA．∵OC=BC，AC=OB，
∴OC=BC=AC=OA，∴△ACO是等边三角形，∴∠O=∠OCA=60°，
又∵∠B=∠CAB，∴∠B=30°，∴∠OAB=90°．∴AB是⊙O的切线；
（2）作AE⊥CD于点E．∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=，∵∠D=30°，∴AD=2．
29、【解答】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD=OC．∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，∴∠PCF=∠E．又∵∠CPF=∠EPC，∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．∵EF是直径，∴∠ECF=90°．
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设CF=x，则EC=2x．则x2+（2x）2=62，解得x=．则EC=2x=．
30、【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，
（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70
∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．
（3）根据题意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400=﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x=40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
31、（1）y=8-；(2)x=50元,z最大=50万元；（3）40元
32、【解答】解：（1）将A（3，0）代入，得m=1．∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3．
B点的坐标（﹣1，0）．
（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．
∵当﹣2＜x＜1时，y随x增大而减小；当1≤x＜3时，y随x增大而增大，∴当x=1，y最小=﹣4．
当x=﹣2，y=5．∴y的取值范围是﹣4≤y＜5．
（3）当直线y=kx+b经过B（﹣1，0）和点（4，2）时，解析式为y=x+．
当直线y=kx+b经过（﹣2，﹣5）和点（4，2）时，解析式为y=x﹣．
结合图象可得，b的取值范围是﹣＜b＜．
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33、【解答】解：（1）对称轴为x=﹣=﹣2，解得b=﹣1，
所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3，∵y=﹣x2﹣x+3=﹣（x+2）2+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，4）；
（2）令y=0，则﹣x2﹣x+3=0，整理得，x2+4x﹣12=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点A（﹣6，0），B（2，0），
如图1，过点D作DE⊥y轴于E，∵0≤t≤4，∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，
=×（2+6）×4﹣×6t﹣×2×（4﹣t）=﹣2t+12，∵k=﹣2＜0，∴S随t的增大而减小，
∴t=4时，S有最小值，最小值为﹣2×4+12=4；
（3）如图2，过点D作DF⊥x轴于F，∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，∴AF=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，
∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，∵OF=OB=2，∴PO为△BDF的中位线，∴OP=DF=2，
∴点P的坐标为（0，2），由勾股定理得，DP==2，AD=AF=4，
∴==2，令x=0，则y=3，∴点C的坐标为（0，3），OC=3，∴==2，∴=，
又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，∴Rt△ADP∽Rt△AOC．
34、【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）存在．抛物线的对称轴为直线x=﹣=，则D（，0），
∴CD===，如图1，当CP=CD时，则P1（，4）；
当DP=DC时，则P2（，），P3（，﹣），
综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；
（3）当y=0时，=﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，
设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），
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∴FE=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x，
而S△BCD=×2×（4﹣）=，∴S四边形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4）=﹣（x﹣2）2+
当x=2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．
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