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期末复习(三) 平行四边形
各个击破
命题点1 平行四边形的性质和判定
【例1】 (深圳中考)已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)证明：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．
【思路点拨】 (1)用垂直平分线的性质证得∠BAD＝∠BCD，而∠BCD＝∠ADF，则∠ADF＝∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得；(2)先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．
【方法归纳】 要证一个四边形是平行四边形，通常按照已知条件的特征来选择判定方法，有五种方法，从中选出最佳的证明方法．
1．(巴中中考)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD.连接CE，求证：CE平分∠BCD.
命题点2 特殊平行四边形的性质与判定
【例2】 如图：在△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于点M，N.
(1)求证：四边形AECF为矩形；
(2)试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想．
【思路点拨】 (1)由AE⊥CE于E，AF⊥CF于F可得∠AEC＝∠AFC＝90°，再由CE，CF分别平分∠
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ACB与它的邻补角∠ACD，能证出∠ECF＝90°，从而得证；(2)由矩形的性质可证NE＝NC，从而可代换出内错角相等，可证出两直线平行，又因为N是AC的中点，由三角形中位线定理相应的推论可知M是AB的中点．
【方法归纳】 解答特殊平行四边形的结论探究型试题时，要善于根据已知条件和图形，以及由已知条件得出的结论来加以全面分析，即可找到所要探究的结论．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(珠海中考)边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2．在▱ABCD中，已知AB＝(x＋1)cm，BC＝(x－2)cm，CD＝4 cm，则▱ABCD的周长为( )
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．28 cm
3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是( )
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
4．(南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为( )
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A．1 B．2 C. D．1＋
5．(来宾中考)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
6．(娄底中考)下列命题中，错误的是( )
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等且互相垂直平分
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
7．(枣庄中考)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于( )
A. B. C．5 D．4
8．(黔南中考)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是( )
A．AB＝CD B．∠BAE＝∠DCE
C．EB＝ED D．∠ABE一定等于30°
9．(曲靖中考)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．无法确定
10．(广州中考)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )
A. B．2 C. D．2
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(大连中考)如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝____________．
12．(河南中考)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠
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2的度数为____________．
13．(安顺中考)如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为____________．
14．(三明中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________．(写出一个即可)
15．(漳州中考)如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是____________．
16．(宿迁中考)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是____________．
三、解答题(共52分)
17．(10分)(广元中考)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.
(1)请写出图中两对全等的三角形；
(2)求证：四边形BCEF是平行四边形．
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18．(10分)(长沙中考)如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若AB＝2，AC＝2，求▱ABCD的面积．
19．(10分)如图，已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积．
20．(10分)(梅州中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
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(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
21．(12分)已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG，当点E在线段BC上时，如图1，易证：AB＝CG＋CE.
(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图2)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；
(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图3)，直接写出AB，CG，CE之间的关系．
参考答案
【例1】
(1)证明：∵BD垂直平分AC，∴AB＝BC，AD＝DC.
∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA.
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∴∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA.
∵∠BAD＝∠BAC＋∠DAC，∠BCD＝∠BCA＋∠DCA，
∴∠BAD＝∠BCD.∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF.
∴AB∥FD.∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD.∴四边形ABDF是平行四边形．
(2)∵四边形ABDF是平行四边形，AF＝DF＝5，∴四边形ABDF为菱形．
∴AB＝BD＝5.设BE＝x，则DE＝5－x，由题设得AC⊥BD.
∴AB2－BE2＝AD2－DE2，即52－x2＝62－(5－x)2.解得x＝.
∴AE＝＝.∴AC＝2AE＝.
【例2】
(1)证明：∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵CE，CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠DCF＝∠ACD.
∴∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACD)＝×180°＝90°.
∴四边形AECF为矩形．
(2)MN∥BC且MN＝BC.
证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分．
∴NE＝NC.∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE.∴MN∥BC.
又∵AN＝CN，∴MN是△ABC的中位线．∴MN＝BC.
题组训练
1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.∴∠E＝∠DCE.
∵AE＋CD＝AD，∴BE＝BC.∴∠E＝∠BCE.∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.
2．(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.
又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形BECD是菱形．
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.
∴AC＝BC.∵D为BA的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.
又∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
整合集训
1．C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.A 11.35° 12.110° 13.5 14.答案不唯一，如：AB＝AD或AB＝BC或AC⊥BD等 15.(2＋，1) 16.
17．(1)△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF.
(2)证明：∵△ABF≌△DEC，∴BF＝EC.
又∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形．
18．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA.
∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC.
(2)连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，OB＝OD＝BD，
∴OB＝＝＝1.∴BD＝2OB＝2.∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×2×2＝2.
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19．(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
∵四边形ADBE是平行四边形，∴平行四边形ADBE是矩形．
(2)∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC＝6×＝3.
∵在Rt△ACD中，AC＝5，DC＝3，
∴AD＝＝＝4.∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.
20．(1)证明：∵在正方形ABCD中，BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.
(2)GE＝BE＋GD成立．理由：由(1)，得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠BCD＝∠ECF＝90°.又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.
∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.
21．(1)AB＝CG－CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC.
∵AD∥BC，AB∥DC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠BAC＝∠ACD＝∠EAG＝60°.
∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE.即∠BAE＝∠CAG.
在△ABE和△ACG中，∴△ABE≌△ACG.∴BE＝CG.
∵BC＝CD，∴CE＝DG.∵AB＝CD＝CG－DG，∴AB＝CG－CE.
(2)AB＝CE－CG.
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