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期末复习(一) 二次根式
各个击破
命题点1 二次根式有意义的条件
【例1】 要使式子＋(x－2)0有意义，则x的取值范围为____________．
【思路点拨】 从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义．
【方法归纳】
所给代数式的形式
x的取值范围
整式
全体实数.
分式
使分母不为零的一切实数．注意不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义.
偶次根式
被开方式为非负数.
0次幂或负整数指数幂
底数不为零.
复合形式
列不等式组，兼顾所有式子同时有意义.
1．(潍坊中考)若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3
C．x＞－1 D．x＞－1且x≠3
2．若式子有意义，则x的取值范围是__________．
命题点2 二次根式的非负性
【例2】 (自贡中考)若＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
【方法归纳】 这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解，通常利用的非负数有：(1)≥0；(2)x2≥0；(3)≥0.
3．(泰州中考)实数a，b满足＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为( )
A．2 B. C．－2 D．－
命题点3 二次根式的运算
【例3】 (大连中考)计算：(1－)＋＋()－1.
【思路点拨】 先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．
【方法归纳】 二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律．
4．(泰州中考)计算：－(3＋)．
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命题点4 与二次根式有关的化简求值
【例4】 (青海中考)先化简，再求值：÷(x＋)·(＋)，其中x＝2＋，y＝2－.
【思路点拨】 运用分式的运算法则先化简原式，然后将x和y的值代入化简后的式子求值即可．
【方法归纳】 将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算．
5．(成都中考)先化简，再求值：(－1)÷，其中a＝＋1，b＝－1.
命题点5 与二次根式有关的规律探究
【例5】 (黄石中考)观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝－1；
第2个等式a2＝＝－；
第3个等式：a3＝＝2－；
第4个等式：a4＝＝－2.
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an＝____________；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝____________．
【思路点拨】 (1)观察上面四个式子可得第n个等式；(2)根据所得的规律可得a1＋a2＋a3＋…＋an＝－1＋－＋2－＋－2＋…＋－.
【方法归纳】 规律的探究都遵循从特殊到一般的思维过程，在探究过程中要认真分析等式左右两边“变的量”与
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“不变的量”．
6．(菏泽中考)下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
第1行
2
第2行
2
3
2
第3行
4
3
2
第4行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2个数是____________(用含n的代数式表示)．
整合集训
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列二次根式是最简二次根式的为( )
A．2a B. C. D.
2．下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为( )
A. B. C. D.
3．(宁夏中考)下列计算正确的是( )
A.＋＝ B．(－a2)2＝－a4
C．(a－2)2＝a2－4 D.÷＝(a≥0，b＞0)
4．化简－(1－)的结果是( )
A．3 B．－3 C. D．－
5．设m＝3，n＝2，则m，n的大小关系为( )
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．不能确定
6．已知x＋y＝3＋2，x－y＝3－2，则的值为( )
A．4 B．6 C．1 D．3－2
7．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是( )
A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10
8．甲、乙两人计算a＋的值，当a＝5时得到不同的答案，甲的解答是a＋＝a＋＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＋＝a＋＝a＋a－1＝2a－1＝9.下列判断正确的是( )
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错
C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
9．若＝－a，则a的取值范围是( )
A．－3≤a≤0 B．a≤0
C．a＜0 D．a≥－3
10．已知一个等腰三角形的两条边长a，b满足|a－2|＋＝0，则这个三角形的周长为( )
A．4＋5 B．2＋5
C．2＋10 D．4＋5或2＋10
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(常德中考)使代数式有意义的x的取值范围是____________．
12．(金华中考)能够说明“＝x不成立”的x的值是____________(写出一个即可)．
13．(南京中考)比较大小：－3____________.(填“＞”“＜”或“＝”)
14．若m，n都是无理数，且m＋n＝2，则m，n的值可以是m＝____________，n＝____________．(填一组即可)
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15．在实数范围内分解因式：4m2－7＝____________．
16．当x≤0时，化简|1－x|－的结果是__________．
三、解答题(共52分)
17．(8分)计算：
(1)×÷；
(2)(＋2)－÷.
18．(10分)先化简，再求值：2(a＋)(a－)－a(a－6)＋6，其中a＝－1.
19．(10分)(雅安中考)先化简，再求值：÷(－)，其中x＝＋1，y＝－1.
20．(12分)若实数a，b，c满足|a－|＋＝＋.
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
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21．(12分)在如图8×10方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4.P是线段BC上的动点，连接AP，DP.
(1)设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长；
(2)设k＝AP＋DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
【例1】 x≥－3且x≠1，x≠2
【例2】 D
【例3】 原式＝－3＋2＋3
＝3.
【例4】 原式＝÷·＝··＝－.当x＝2＋，y＝2－时，原式＝－＝－1.
【例5】 (1)＝－
(2)－1
题组训练
1．B 2.x≥－4 3.B
4．原式＝×2－－＝－.
5．原式＝(－)÷＝·＝a＋b.∵a＝＋1，b＝－1，∴原式＝＋1＋－1＝2.
6.
整合集训
1．A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.D 9.A 10.C 11.x≥3 12.答案不唯一，如：－1 13.＜ 14.1＋ 1－ 15.(2m＋)(2m－) 16.1
17．(1)原式＝5××＝10.
(2)原式＝a＋2－a
＝2.
18．原式＝a2＋6a.当a＝－1时，原式＝4－3.
19．原式＝÷＝·＝.当x＝＋1，y＝－1时，原式＝＝＝.
20．(1)由题意，得c－3≥0，3－c≥0，即c＝3.∴|a－|＋＝0.∴a－＝0，b－2＝0，即a＝，b＝2.
(2)当a是腰长，b是底边时，等腰三角形的周长为＋＋2＝2＋2；当b是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长为＋2＋2＝＋4.综上，这个等腰三角形的周长为2＋2或＋4.
21．(1)AP＝，DP＝.
(2)k有最小值．作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，AP，交BC于点P，过A′作A′E⊥DC于点E.∴AP＝A′P.∴k＝AP＋DP＝A′P＋DP＝＝＝＝2.
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