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第四章 三角形
(2013～2016)
第23课时 锐角三角函数及其应用
江苏近4年中考真题精选
命题点1 锐角三角函数(2016年6次，2015年5次，2014年6次，2013年7次)
1. (2016无锡7题3分)sin30°的值为( )
A. B. C. D.
2. (2015南通6题3分)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是( )
A. B. C. D. 2
第2题图 第3题图
3. (2013宿迁4题3分)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( )
A. B. C. D.
4. (2016徐州14题3分)若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，则它的底边长为______ cm.
5. (2016南通14题3分)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cosA＝________．
第5题图
6. (2016连云港25题10分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1.参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)
第6题图
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命题点2 (2016年8次，2015年7次，2014年10次，2013年7次)
7. (2015苏州10题3分)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为( )
A. 4 km B. (2＋) km
C. 2 km D. (4－) km
第7题图
8. (2015宿迁22题6分)如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°，已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80)
第8题图
9. (2014淮安24题8分)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
第9题图
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10. (2014南京23题8分)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′.求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)
第10题图
11. (2016淮安24题8分)小华想测量位于池塘两端的A、B两点的距离，他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．
第11题图
12. (2013盐城26题10分)如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF，经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且BC＝1.5 m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得AD＝1 m，请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．
第12题图
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13. (2013南京22题8分)已知不等臂跷跷板AB长4 m．如图①，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH.(用含α、β的式子表示)
第13题图
14. (2014泰州22题10分)图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6 m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8 m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1 m)．(参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)
第14题图
15. (2015盐城25题10分)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳(取1.73)．
(1)求楼房的高度约为多少米？
(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由．
第15题图
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16. (2014徐州25题8分)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处．
(1)求点C与点A的距离．(精确到1 km)
(2)确定点C相对于点A的方向．
(参考数据：≈1.414，≈1.732)
第16题图
17. (2014宿迁23题8分)如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6 m，
(1)求FM的长；
(2)连接AF，若sin∠FAM＝，求AM的长．
第17题图
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答案
1. A 【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可．sin30°＝.
2. C 【解析】令(2，1)为点B，如解图，过点B作BC⊥x轴于点C，tanα＝＝.
第2题解图
3. B 【解析】由图可得tan∠AOB＝.
4. 2 【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴BC＝2BD＝2AB·cos30°＝2.
第4题解图
5. 【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，∴AB＝4，∴cosA＝＝.
6. 解：(1)如解图①，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
第6题解图①
∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC×cos30°＝4×＝2，
∵在Rt△ABD中，tanB＝＝，
∴＝，
∴BC＝16－2；
(2)如解图②，在CB上截取CE＝CA＝4，则∠CEA＝∠CAE＝∠ACD＝15°，
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第6题解图②
∴tan15°＝＝＝＝2－≈0.3.
7. B 【解析】如解图，过点B作BE⊥AD交AC于点E.则BE＝AB＝2，AE＝2；∠AEB＝∠EBC＋∠ECB，∵∠AEB＝45°，∠EBC＝22.5°，∴∠ECB＝22.5°，∴CE＝BE＝2，所以AC＝2＋2，所以CD＝(2＋) km.
第7题解图
8. 解：在Rt△ADE中，
∵tan22°＝，
∴AD＝≈＝30，
在Rt△BCD中，设BC＝x，则CD＝≈＝x，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，解得x＝24.
答：楼房CB的高度约为24米．
9. 解：如解图，过B点作BD⊥AC于点D.
第9题解图
∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，
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∴在Rt△ADB中，AD＝，
在Rt△CDB中，CD＝BD，
∵AC＝AD＋CD＝24，
∴＋BD＝24，
解得BD≈17，
∴AB＝≈18，
答：这棵古杉树AB的长度大约为18 m．
10. 解：设梯子的长为x m.
在Rt△ABO中，cos∠ABO＝，
∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos 60°＝x，
在Rt△CDO中，cos∠CDO＝，
∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos 51°18′≈0.625x，
∵BD＝OD－OB，
∴0.625x－x＝1，
解得x＝8.
答：梯子的长约为8 m．
11. 解：如解图，过点A作AG⊥EF于点G，过点B作BH⊥EF于点H，
第11题解图
由题意可知，CD＝100米，AG＝BH＝60米，∠ACF＝45°，∠BDH＝60°.在Rt△ACG中，AG＝60，∠ACF＝45°，
∴CG＝60.
在Rt△BDH中，BH＝60，∠BDH＝60°，
∴tan60°＝，
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∴＝，
∴DH＝20，
∴AB＝CD＋DH－CG
＝100＋20－60
＝40＋20.
答：AB两点之间的距离为(40＋20)米．
12. 解：如解图，过点B作BH⊥EF于点H，
第12题解图
∴四边形BCFH为矩形，BC＝HF＝1.5 m，∠HBA＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝30°，BC＝1.5 m，
∴AB＝3 m，
∵AD＝1 m，
∴BD＝2 m，
在Rt△EDB中，∵∠EBD＝60°，
∴∠BED＝90°－60°＝30°，
∴EB＝2BD＝2×2＝4 m，
又∵∠HBA＝∠BAC＝30°，
∴∠EBH＝∠EBD－∠HBD＝30°，
∴EH＝EB＝2 m，
∴EF＝EH＋HF＝2＋1.5＝3.5 m.
答：该支架的边BE为4 m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5 m．
13. 解：在Rt△AHO中，sinα＝，
∴OA＝，
在Rt△BHO中，sinβ＝，
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∴OB＝，
∵AB＝4，
∴OA＋OB＝4，即＋＝4，
∴OH＝ m．
14. 解：如解图，过C点作FG⊥AB于点F，交DE于点G.
第14题解图
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD＝80°，
∴∠ACF＝∠FCD－∠ACD＝90°＋12°－80°＝22°，
∴∠CAF＝68°，
在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF＝0.8·sin68°≈0.744 m，
在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE＝1.6·sin12°≈0.336 m，
∴FG＝FC＋CG≈1.1 m.
答：跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1 m．
15. 解：(1)在Rt△AEB中，∠A＝90°，∠α＝60°，AE＝10，
∴AB＝AE·tan60°＝10×≈17.3.
答：楼房的高约为17.3米；
(2)当α＝45°时，小猫仍然能晒到太阳．
第15题解图
理由如下：假设没有台阶，如解图，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为H.
∵∠BFA＝∠ABF＝45°，
∴BA＝AF，
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此时影长AF＝BA＝17.3，
∴CF＝AF－AC＝17.3－17.2＝0.1＜0.2，
∴CH＝CF＝0.1，
则大楼影子落在台阶MC这个侧面上．
∴小猫仍然能晒到太阳．
16. 解：(1)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ABC＝75°－15°＝60°，
第16题解图
在Rt△ABD中，
∵∠ABC＝60°，AB＝100 km，
∴BD＝50 km，AD＝50 km，
∴CD＝BC－BD＝200－50＝150 km，
在Rt△ACD中， AC＝＝100≈173 km.
答：点C与点A的距离约为173 km；
(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100)2＝40000，
BC2＝2002＝40000，
∴在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.
答：点C位于点A的南偏东75°方向．
17. 解：(1)如解图，分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，
第17题解图
在Rt△ABN中，
∵AB＝6 m，∠BAM＝30°，
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∴BN＝AB·sin∠BAN＝6×＝3 m，
∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，
同理可得：DG＝FH＝3 m，
∴FM＝FH＋DG＋BN＝9 m．
(2)在Rt△FAM中，
∵FM＝9 m，sin∠FAM＝，
∴AF＝＝27 m，
∴AM＝＝18 m.
即AM的长为18 m．
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