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第六章 圆
第26课时 圆的基本性质
(2013～2016)
江苏近4年中考真题精选
命题点1 (2016年7次，2015年16次，2014年12次，2013年8次)
1. (2013淮安8题3分)如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°，则∠A的度数是( )
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
第1题图 第2题图
2. (2013苏州7题3分)如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( )
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
3. (2016常州5题2分)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( )
第3题图
A. cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm
4. (2016扬州16题3分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为________．
第4题图 第5题图
5. (2016连云港14题3分)如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7、A7A10，则∠A3A7A10＝______°.
6. (2014无锡22题8分)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
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(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
第6题图
命题点2 圆内接四边形的性质(2016年3次，2015年5次，2014年南通17题)
7. (2015淮安7题3分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数为( )
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
第7题图
8. (2015南京15题3分)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.
第8题图 第9题图
9. (2014南通17题3分)如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝______度．
命题点3 垂径定理及其推论(2016年2次，2015年3次，2014年3次，2013年4次)
10. (2013徐州5题3分)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )
A. 10 B. 8 C. 5 D. 3
第10题图 第11题图
11. (2014镇江16题3分)如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于( )
A. B. C. D.
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12. (2016宿迁14题3分)如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2.以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．
第12题图 第13题图
13. (2015徐州15题3分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8 cm，则⊙O的半径为________cm.
14. (2013扬州18题3分)如图，已知⊙O的直径AB＝6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB＝∠NFB＝60°，则EM＋FN＝________．
第14题图
15. (2014南通24题8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.
(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；
(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．
第15题图
答案
1. A 【解析】∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝50°，∴∠BOC＝180°－50°－50°＝80°，∴∠A＝∠BOC＝40°.
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2. C 【解析】连接BD，如解图，∵点D是的中点，即＝，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠ABC＝50°，且∠ABC＝∠CBD＋∠ABD，∴∠ABD＝∠ABC＝25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，∠DAB＝90°－25°＝65°.
第2题解图
3. B 【解析】∵∠MON＝90°，M、N是三角板与圆的交点，∴MN是圆的直径，∵OM＝8 cm，ON＝6 cm，根据勾股定理得：MN＝＝10 cm，∴半径r＝5 cm.
4. 2 【解析】如解图，连接CD，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠ADC，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝CD, 又∵直径AD＝4，∴在Rt△ACD中，AC＝CD＝2.
第4题解图 第5题解图
5. 75 【解析】∵多边形A1A2…A12是正十二边形，作它的外接圆⊙O，正十二边形每条边所对的圆心角为30°，∴∠A10OA3＝5×30°＝150°，∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∴∠A3A7A10＝∠A10OA3＝×150°＝75°.
6. 解：(1)∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝70°，
∴在Rt△ACB中，∠CAB＝180°－90°－70°＝20°，
又∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝70°.
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝55°－20°＝35°；
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(2)在Rt△ABC中，BC＝＝＝.
∵BC∥OD，OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝.
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD－OE＝2－.
7. B 【解析】根据圆内接四边形的性质可知：∠A＋∠C＝180°，∵∠A＝70°，∴∠C＝180°－∠A＝110°.
8. 215 【解析】如解图，连接BD，根据同弧所对的圆周角相等，得∠CBD＝∠CAD＝35°，∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ABD＋∠AED＝180°，∴∠ABC＋∠E＝∠CBD＋∠ABD＋∠E＝180°＋∠CBD＝180°＋35°＝215°.
第8题解图 第9题解图
9. 60 【解析】如解图，连接DO，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC，又∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∵∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
10. C 【解析】如解图，连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4，在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5，即圆⊙的半径为5.
第10题解图 第11题解图
11. D 【解析】如解图，过点O作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，∵OB＝5，OD＝3，由勾股定理得：BD＝＝＝4，由圆周角定理得∠A＝∠BOC，又∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC，
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∴∠A＝∠BOD，∴tan∠A＝tan∠BOD＝＝.
12. 2 【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，∴∠CBD＝30°，∵BC＝2，∴根据“30°角所对直角边是斜边的一半”得CE＝1，∴BE＝＝，由垂径定理可得BD＝2BE＝2.
第12题解图 第13题解图
13. 4 【解析】如解图，连接OC，由圆周角定理得∠COB＝2∠A＝45°，∵AB是⊙O的直径且AB⊥CD，∴CD＝2CE，∴CE＝4 cm，在Rt△OCE中，OC＝＝＝4(cm)．
14. 【解析】如解图，延长ME交⊙O于点G，∵E、F为AB的三等分点，∠MEB＝∠NFB＝60°，∴由圆的对称性得FN＝EG，过点O作OH⊥MG于点H，连接MO，∵⊙O的直径AB＝6，∴OE＝OA－AE＝×6－×6＝3－2＝1，OM＝OA＝×6＝3，∵∠MEB＝60°，∴OH＝OE·sin60°＝1×＝，在Rt△MOH中，MH＝＝＝，根据垂径定理，MG＝2MH＝2×＝，即EM＋FN＝ME＋GE＝MG＝.
第14题解图
15. 解：(1)∵AB⊥CD，AB为⊙O的直径，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设OB＝x，
又∵BE＝4，∴OE＝x－4，
在Rt△OED中，
∴x2＝(x－4)2＋82，
解得：x＝10，
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∴⊙O的直径是20；
(2)∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D＋∠DOB＝90°，
∴∠D＝30°.
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