2017中考数学四边形四边形的证明与计算集训(附答案和解析)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 四边形的证明与计算巩固集训 ‎1. (2016永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:BE=CD;‎ ‎(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.‎ ‎ 第1题图 ‎2.(2017原创)如图①,▱ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F.‎ ‎(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;‎ ‎(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,连接AF,CE,分别交BE、FD于点G、H,得到四边形EGFH.此时,他猜想四边形EGFH是平行四边形,请在框图(图②)中补全他的证明思路,并说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 第2题图 ‎3. (2016南京校级一模)如图,在四边形ABCD中,AD=CD=8,AB=CB=6,点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点.‎ ‎(1)求证:四边形EFGH是矩形;‎ ‎(2)若DA⊥AB,求四边形EFGH的面积.‎ ‎ 第3题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4. (2016南京校级二模)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点B作BE∥AC,交DC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:△BDC≌△BEC;‎ ‎(2)若BE=10,CE=6,连接OE,求OE的长.‎ ‎ 第4题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5. (2017原创)如图,四边形ABCD是菱形,点E为对角线AC上一点,连接DE并延长交AB的延长线于点F.连接CF、BD、BE.w ‎(1)求证:∠AFD=∠EBC;‎ ‎(2)若E为△BCD的重心,求∠ACF的度数.‎ ‎ 第5题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6. (2016南通一模)如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于点C,BD平分∠ABC,交AE于点D,连接CD.2·1·c·n·j·y ‎(1)求证:四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)若AB=5,AC=6,求AE,BF之间的距离.‎ ‎ 第6题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7. (2016滨州)如图,BD是∠ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.‎ ‎(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;‎ ‎(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.‎ ‎ 第7题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8. (2016济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.‎ ‎(1)已知EO=,求正方形ABCD的边长;‎ ‎(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.‎ ‎ 第8题图 答案 ‎1. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,AB=CD,‎ ‎∴∠AEB=∠DAE,‎ ‎∵AE是∠BAD的平分线,‎ ‎∴∠BAE=∠DAE,‎ ‎∴∠BAE=∠AEB,‎ ‎∴AB=BE,‎ ‎∴BE=CD;‎ ‎(2)解:∵AB=BE,∠BEA=60°,‎ ‎∴△ABE是等边三角形,‎ ‎∴AE=AB=4,‎ ‎∵BF⊥AE,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AF=EF=2,‎ ‎∴BF===2,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E,‎ 在△ADF和△ECF中,‎ ,‎ ‎∴△ADF≌△ECF(AAS),‎ ‎∴S△ADF=S△ECF,‎ ‎∴S▱ABCD=S△ABE=AE·BF=×4×2=4.‎ ‎2. (1)证明:在▱ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,AD=BC,‎ ‎∵BE平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABE=∠EBC=∠ABC,‎ ‎∵DF平分∠ADC,‎ ‎∴∠ADF=∠CDF=∠ADC,‎ ‎∵∠ABC=∠ADC,‎ ‎∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠AEB=∠EBC.‎ ‎∴∠AEB=∠ADF,‎ ‎∴EB∥DF.‎ ‎∵ED∥BF,‎ ‎∴四边形EBFD是平行四边形;‎ ‎(2)解:补全思路:GF∥EH,AE∥CF.理由如下:‎ ‎∵四边形EBFD是平行四边形,‎ ‎∴BE∥DF,DE=BF,‎ ‎∴AE=CF,‎ 又∵AE∥CF,‎ ‎∴四边形AFCE是平行四边形,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴GF∥EH,‎ 又∵GE∥FH,‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形.‎ ‎3. (1)证明:连接AC、BD,交于点O,如解图,‎ 第3题解图 ‎∵点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点,‎ ‎∴EF∥BD∥GH,EH∥AC∥FG,‎ EF=GH=BD,EH=FG=AC,‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形,‎ ‎∵AD=CD,AB=CB,‎ ‎∴点D、B都在线段AC的垂直平分线上,‎ ‎∴DB垂直平分AC,‎ ‎∴DB⊥AC,OA=OC,‎ ‎∵EF∥DB,‎ ‎∴EF⊥AC,‎ ‎∵FG∥AC,‎ ‎∴EF⊥FG,‎ ‎∴平行四边形EFGH是矩形;‎ ‎(2)解:∵DA⊥AB,AD=8,AB=6,‎ ‎∴DB=10,‎ ‎∴EF=BD=5.‎ ‎∵S△BAD=BA·AD=BD·AO,‎ ‎∴AO===,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AC=2AO=,‎ ‎∴FG=AC=,‎ ‎∴S矩形EFGH=FG·EF=×5=24.‎ ‎4. (1)证明:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥DC,∠BCD=∠BCE=90°,‎ ‎∵AC∥BE,‎ ‎∴四边形ABEC为平行四边形,‎ ‎∴AB=CE,‎ ‎∴DC=EC,‎ 在△BCD和△BCE中,‎ ,‎ ‎∴△BCD≌△BCE(SAS);‎ ‎(2)解:如解图,过点O作OF⊥CD于点F,‎ 第4题解图 由(1)知:四边形ABEC为平行四边形,‎ ‎∴AC=BE=BD=10,‎ ‎∵△BCD≌△BCE,‎ ‎∴CD=CE=6,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴DO=OB,∠BCD=90°,‎ ‎∵OF⊥CD,‎ ‎∴OF∥BC,‎ ‎∴CF=DF=CD=3,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴EF=EC+CF=6+3=9,‎ 在Rt△BCE中,由勾股定理可得BC==8,‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴OF为△BCD的中位线,‎ ‎∴OF=BC=4.‎ 在Rt△OEF中,由勾股定理可得OE===.‎ ‎5. (1)证明:∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴DC=BC,∠DCE=∠BCE,‎ 在△DCE和△BCE中,‎ ,‎ ‎∴△DCE≌△BCE(SAS),‎ ‎∴∠EBC=∠EDC,‎ 又∵AB∥CD,‎ ‎∴∠AFD=∠EDC,‎ ‎∴∠AFD=∠EBC;‎ ‎(2)解:如解图,设DF交BC于点P,AC交BD于点O,‎ 第5题解图 ‎∵E为△BCD的重心,‎ ‎∴P为BC的中点,‎ ‎∴BP=CP,‎ 在△CPD和△BPF中,‎ ,‎ ‎∴△CDP≌△BFP(AAS),‎ ‎∴DP=FP,‎ ‎∴四边形BFCD是平行四边形,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴FC∥BD,‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∴∠AOB=90°,‎ ‎∴∠ACF=∠AOB=90°.‎ ‎6. (1)证明:∵AE∥BF,‎ ‎∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,‎ ‎∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠CBD,‎ ‎∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,‎ ‎∴AB=BC,AB=AD,‎ ‎∴AD=BC,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∵AD=AB,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)解:过点A作AM⊥BC于点M,则AM的长就是AE,BF之间的距离,设AC交BD于点O,‎ 第6题解图 ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,AO=OC=AC=×6=3,‎ ‎∵AB=5,‎ ‎∴在Rt△AOB中,由勾股定理得:BO=4,‎ ‎∴BD=2BO=8,‎ ‎∴菱形ABCD的面积为·AC·BD=×6×8=24,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴BC=AB=5,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴5×AM=24,∴AM=,‎ 即AE,BF之间的距离是.‎ ‎7. 解:(1)四边形EBGD是菱形.‎ 理由如下:‎ ‎∵EG垂直平分BD,‎ ‎∴EB=ED,GB=GD,‎ ‎∴∠EBD=∠EDB,‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠EBD=∠DBC,‎ ‎∴∠EDF=∠GBF,‎ 在△EFD和△GFB中,‎ ,‎ ‎∴△EFD≌△GFB(ASA),‎ ‎∴ED=GB,∴BE=ED=DG=GB,‎ ‎∴四边形EBGD是菱形;‎ ‎(2)如解图,作EM⊥BC于点M,DN⊥BC于点N,连接EC交BD于点H,连接GH,此时HG+HC的值最小,在Rt△EBM中,∠EBM=30°,EB=ED=2,‎ 第7题解图 ‎∴EM=BE=,‎ ‎∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,‎ ‎∴EM∥DN,‎ ‎∴四边形EMND为平行四边形,‎ EM=DN=,MN=DE=2,‎ 在Rt△DNC中,∠DCN=45°,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠NDC=∠NCD=45°,‎ ‎∴DN=NC=,‎ ‎∴MC=3,‎ 在Rt△EMC中,‎ EC===10.‎ 又∵BD垂直平分EG,‎ ‎∴EH=HG.‎ ‎∴HG+HC=EH+HC=EC=10,‎ ‎∴HG+HC的最小值为10.‎ ‎8. 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴CA= BC,‎ ‎∵CF=CA,CE是∠ACF的平分线,‎ ‎∴E是AF的中点,‎ ‎∵E、O分别是AF、AC的中点,‎ ‎∴EO∥BC,且EO=CF,‎ ‎∴△EOM∽△CBM,‎ ‎∴=,‎ ‎∵CF=CA=CB,‎ ‎∴==,‎ ‎∵EO=,∴BC=2,‎ ‎∴正方形ABCD的边长为2;‎ ‎(2)EM=CN.‎ 证明:∵CF=CA,CE是∠ACF的平分线,‎ ‎∴CE⊥AF,‎ ‎∴∠AEN=∠CBN=90°,‎ ‎∵∠ANE=∠CNB,‎ ‎∴∠BAF=∠BCN,‎ 在△ABF和△CBN中,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ,‎ ‎∴△ABF≌△CBN(ASA),‎ ‎∴AF=CN,‎ ‎∵∠BAF=∠BCN,∠ACN=∠BCN,‎ ‎∴∠BAF=∠OCM,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∴∠COM=∠ABF=90°,‎ ‎∴△COM∽△ABF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴==,即CM=CN.‎ 由(1)知,==,‎ ‎∴EM=CM=×CN=CN.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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