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四边形的证明与计算巩固集训
1. (2016永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
第1题图
2.(2017原创)如图①,▱ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,连接AF,CE,分别交BE、FD于点G、H,得到四边形EGFH.此时,他猜想四边形EGFH是平行四边形,请在框图(图②)中补全他的证明思路,并说明理由.
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第2题图
3. (2016南京校级一模)如图,在四边形ABCD中,AD=CD=8,AB=CB=6,点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若DA⊥AB,求四边形EFGH的面积.
第3题图
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4. (2016南京校级二模)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点B作BE∥AC,交DC的延长线于点E.
(1)求证:△BDC≌△BEC;
(2)若BE=10,CE=6,连接OE,求OE的长.
第4题图
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5. (2017原创)如图,四边形ABCD是菱形,点E为对角线AC上一点,连接DE并延长交AB的延长线于点F.连接CF、BD、BE.w
(1)求证:∠AFD=∠EBC;
(2)若E为△BCD的重心,求∠ACF的度数.
第5题图
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6. (2016南通一模)如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于点C,BD平分∠ABC,交AE于点D,连接CD.2·1·c·n·j·y
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求AE,BF之间的距离.
第6题图
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7. (2016滨州)如图,BD是∠ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;
(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.
第7题图
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8. (2016济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)已知EO=,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
第8题图
答案
1. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠AEB=∠DAE,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴BE=CD;
(2)解:∵AB=BE,∠BEA=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=4,
∵BF⊥AE,
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∴AF=EF=2,
∴BF===2,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E,
在△ADF和△ECF中,
,
∴△ADF≌△ECF(AAS),
∴S△ADF=S△ECF,
∴S▱ABCD=S△ABE=AE·BF=×4×2=4.
2. (1)证明:在▱ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,AD=BC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC=∠ABC,
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF=∠CDF=∠ADC,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF.
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC.
∴∠AEB=∠ADF,
∴EB∥DF.
∵ED∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形;
(2)解:补全思路:GF∥EH,AE∥CF.理由如下:
∵四边形EBFD是平行四边形,
∴BE∥DF,DE=BF,
∴AE=CF,
又∵AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
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∴GF∥EH,
又∵GE∥FH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
3. (1)证明:连接AC、BD,交于点O,如解图,
第3题解图
∵点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点,
∴EF∥BD∥GH,EH∥AC∥FG,
EF=GH=BD,EH=FG=AC,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵AD=CD,AB=CB,
∴点D、B都在线段AC的垂直平分线上,
∴DB垂直平分AC,
∴DB⊥AC,OA=OC,
∵EF∥DB,
∴EF⊥AC,
∵FG∥AC,
∴EF⊥FG,
∴平行四边形EFGH是矩形;
(2)解:∵DA⊥AB,AD=8,AB=6,
∴DB=10,
∴EF=BD=5.
∵S△BAD=BA·AD=BD·AO,
∴AO===,
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∴AC=2AO=,
∴FG=AC=,
∴S矩形EFGH=FG·EF=×5=24.
4. (1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AB∥DC,∠BCD=∠BCE=90°,
∵AC∥BE,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∴AB=CE,
∴DC=EC,
在△BCD和△BCE中,
,
∴△BCD≌△BCE(SAS);
(2)解:如解图,过点O作OF⊥CD于点F,
第4题解图
由(1)知:四边形ABEC为平行四边形,
∴AC=BE=BD=10,
∵△BCD≌△BCE,
∴CD=CE=6,
∵四边形ABCD是矩形,
∴DO=OB,∠BCD=90°,
∵OF⊥CD,
∴OF∥BC,
∴CF=DF=CD=3,
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∴EF=EC+CF=6+3=9,
在Rt△BCE中,由勾股定理可得BC==8,
∵OB=OD,
∴OF为△BCD的中位线,
∴OF=BC=4.
在Rt△OEF中,由勾股定理可得OE===.
5. (1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴DC=BC,∠DCE=∠BCE,
在△DCE和△BCE中,
,
∴△DCE≌△BCE(SAS),
∴∠EBC=∠EDC,
又∵AB∥CD,
∴∠AFD=∠EDC,
∴∠AFD=∠EBC;
(2)解:如解图,设DF交BC于点P,AC交BD于点O,
第5题解图
∵E为△BCD的重心,
∴P为BC的中点,
∴BP=CP,
在△CPD和△BPF中,
,
∴△CDP≌△BFP(AAS),
∴DP=FP,
∴四边形BFCD是平行四边形,
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∴FC∥BD,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴∠ACF=∠AOB=90°.
6. (1)证明:∵AE∥BF,
∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,
∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠CBD,
∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,
∴AB=BC,AB=AD,
∴AD=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AD=AB,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)解:过点A作AM⊥BC于点M,则AM的长就是AE,BF之间的距离,设AC交BD于点O,
第6题解图
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC=AC=×6=3,
∵AB=5,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理得:BO=4,
∴BD=2BO=8,
∴菱形ABCD的面积为·AC·BD=×6×8=24,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB=5,
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∴5×AM=24,∴AM=,
即AE,BF之间的距离是.
7. 解:(1)四边形EBGD是菱形.
理由如下:
∵EG垂直平分BD,
∴EB=ED,GB=GD,
∴∠EBD=∠EDB,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EDF=∠GBF,
在△EFD和△GFB中,
,
∴△EFD≌△GFB(ASA),
∴ED=GB,∴BE=ED=DG=GB,
∴四边形EBGD是菱形;
(2)如解图,作EM⊥BC于点M,DN⊥BC于点N,连接EC交BD于点H,连接GH,此时HG+HC的值最小,在Rt△EBM中,∠EBM=30°,EB=ED=2,
第7题解图
∴EM=BE=,
∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,
∴EM∥DN,
∴四边形EMND为平行四边形,
EM=DN=,MN=DE=2,
在Rt△DNC中,∠DCN=45°,
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∴∠NDC=∠NCD=45°,
∴DN=NC=,
∴MC=3,
在Rt△EMC中,
EC===10.
又∵BD垂直平分EG,
∴EH=HG.
∴HG+HC=EH+HC=EC=10,
∴HG+HC的最小值为10.
8. 解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴CA= BC,
∵CF=CA,CE是∠ACF的平分线,
∴E是AF的中点,
∵E、O分别是AF、AC的中点,
∴EO∥BC,且EO=CF,
∴△EOM∽△CBM,
∴=,
∵CF=CA=CB,
∴==,
∵EO=,∴BC=2,
∴正方形ABCD的边长为2;
(2)EM=CN.
证明:∵CF=CA,CE是∠ACF的平分线,
∴CE⊥AF,
∴∠AEN=∠CBN=90°,
∵∠ANE=∠CNB,
∴∠BAF=∠BCN,
在△ABF和△CBN中,
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,
∴△ABF≌△CBN(ASA),
∴AF=CN,
∵∠BAF=∠BCN,∠ACN=∠BCN,
∴∠BAF=∠OCM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∴∠COM=∠ABF=90°,
∴△COM∽△ABF,
∴=,
∴==,即CM=CN.
由(1)知,==,
∴EM=CM=×CN=CN.
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