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湖南省郴州市2017届高考数学三模试卷（理科）（解析版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（ ）
A．（2，4] B．[2，4] C．{0，3，4} D．{3，4}
2．设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯．
A．14 B．12 C．8 D．10
4．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．
5．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ）
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A．5份 B．10份 C．15份 D．20份
6．已知函数f（x）=sinx+3cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）
A．点Q到平面PEF的距离 B．直线PE与平面QEF所成的角
C．三棱锥P﹣QEF的体积 D．二面角P﹣EF﹣Q的大小
8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值，则ω取值范围是（ ）
A．（0，2） B．（0，3] C．（2，3] D．（2，+∞）
10．如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．4π D．
12．已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（0，1] C．[0，1] D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ．
14．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为 ．
15．在直角三角形△ABC中，，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则= ．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N+，Sn=（﹣1）nan++
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n﹣3且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则实数t的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．
18．（12分）2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；
（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；
（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
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20．（12分）已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x0，y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在上的最小值；
（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．
[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．
（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|•|PN|的值．
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[选修4-5：不等式选讲]
23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．
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2017年湖南省郴州市高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（ ）
A．（2，4] B．[2，4] C．{0，3，4} D．{3，4}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，
解得：x＜0或x＞2，即B=（﹣∞，0）∪（2，+∞），
∵A={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={3，4}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，然后求解向量的模．
【解答】解：z=1﹣i（i是虚数单位），
复数===1﹣i．
向量的模： =．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
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3．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯．
A．14 B．12 C．8 D．10
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，由此能求出结果．
【解答】解：设第一层有a盏灯，
则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，
∴=381，
解得a1=192，
∴a5=a1×（）4=192×=12，
故选：B．
【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
4．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（ ）
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A． B．﹣3 C．3 D．
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图依次计算程序运行的结果，直到满足条件x≤2时，计算y的值．
【解答】解：输入x=256＞2，x=log2256=8，
x=8＞2，x=log28=3，
x=3＞2，x=log23＜2，
此时y==，
故选：A．
【点评】本题是循环结构的程序框图，解答的关键是读懂框图的流程．
5．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ）
A．5份 B．10份 C．15份 D．20份
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得．
【解答】解：∵数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），P（80＜ξ≤100）=0.35，
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∴P（80＜ξ≤120）=2×0.35=0.70，
∴P（ξ＞120）=（1﹣0.70）=0.15，
∴100×0.15=15，
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．
6．已知函数f（x）=sinx+3cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】利用三角函数的辅助角公式求出当x∈[0，π]时，f（x）≥的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：∵ sinx+3cosx=2sin（x+）≥，
∴sin（x+）≥，
∵x∈[0，π]，x+∈[，]，
∴≤x+≤，
∴0≤x≤，
∴发生的概率为P=，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
7．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）
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A．点Q到平面PEF的距离 B．直线PE与平面QEF所成的角
C．三棱锥P﹣QEF的体积 D．二面角P﹣EF﹣Q的大小
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．
【解答】解：A中，取B1C1的中点M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF为定值；
B中，∵P是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PE与平面QEF所成的角不是定值；
C中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），
再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；
D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．
8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
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，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的离心率，求得b=c，则椭圆的标准方程转化成x2+2y2=2b2，求得右焦点关于直线x+y﹣1=0对称的点，代入椭圆方程，即可求得b和a的值，求得椭圆方程．
【解答】解：由椭圆的离心率e==，则a=c，
由b2=a2﹣c2=c2，则b=c，
则设椭圆方程为x2+2y2=2b2，
∴右焦点（b，0）关于l：y=﹣x+1的对称点设为（x′，y′），则，解得，
由点（1，1﹣b）在椭圆上，得1+2（1﹣b）2=2b2，b2=，a2=，
∴椭圆的标准方程为：，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点关于直线对称的求法，考查计算能力，属于中档题．
9．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值，则ω取值范围是（ ）
A．（0，2） B．（0，3] C．（2，3] D．（2，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
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【分析】由题意，＜≤T，即可得出结论．
【解答】解：由题意，f（α）=0，f'（α）＞0，
且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值，
∴＜≤T，
∴＜≤•，
∴2＜ω≤3，
故选C．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10．如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】如图所示， =（ 4，0），=（0，4）．可得=m +n =（ 4m，4n）．当圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P（ 4﹣，﹣）．
此时m+n取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时，P（，）．此时m+n取得最大值．
【解答】
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解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，向量=m+n（m，n为实数）；=（ 4，0），=（0，4）．可得=m +n =（ 4m，4n）．
当动圆Q的圆心经过点C时，如图：P（，）．
此时m+n取得最大值：4m+4n=8+，可得m+n=2+．
当动圆Q的圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P（ 4﹣，﹣）．
此时，4m+4n=4﹣，m+n取得最小值为：1﹣；
∴则m+n的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
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A． B． C．4π D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，求出h，并求出球的半径，利用球的表面积公式求解．
【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，
PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，
底面ABCD是边长是2的正方形，
设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，
则h2+2=1+（2﹣h）2，
∴h=，R2=，
∴几何体的外接球的表面积S=4πR2=π，
故选B．
【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及正确确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力．
12．已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（0，1] C．[0，1] D．
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出函数f（x）中两个函数解析式对称的图象，然后求出能使函数值为2的关键点，进而可得实数a的取值范围．
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【解答】解：∵函数，∴函数f（x）的图象如下图所示：
∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，
当﹣1＜k≤，x=时，，
由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，
当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a
故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，
则a∈[1，]，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，数形结合思想，难度中档．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．
【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），
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由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，
则丨AB丨=，
由丨AB丨=2×2a，
则b2=2a2，
∴双曲线离心率e===，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线通径的求法，考查计算能力，属于基础题．
14．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为 ﹣41 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】根据展开式中各项系数的和2求得m的值，再把二项式展开，求得该展开式中含x的系数．
【解答】解：∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2，∴m=1，
∴=（x+）•（•（2x）5﹣•（2x）4+•（2x）3﹣•（2x）2+•2x﹣），
则该展开式中含x的系数为﹣﹣•4=﹣41，
故答案为：﹣41．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
15．在直角三角形△ABC中，，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则= 6 ．
【考点】向量在几何中的应用．
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【分析】据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A（0，3），并设M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），这样根据条件即可得到，即得到，进行数量积的坐标运算即可求出的值．
【解答】解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；
∴由得：
3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；
∴；
∴；
∴．
故答案为：6．
【点评】考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘和数量积运算．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N+，Sn=（﹣1）nan++n﹣3且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，则实数t的取值范围是 （﹣，） ．
【考点】数列递推式．
【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥
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2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立求得实数t的取值范围．
【解答】解：由Sn=（﹣1）nan++n﹣3，得a1=﹣；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣1）nan++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1an﹣1﹣﹣（n﹣1）+3
=（﹣1）nan+（﹣1）nan﹣1﹣+1，
若n为偶数，则an﹣1=﹣1，∴an=﹣1（n为正奇数）；
若n为奇数，则an﹣1=﹣2an﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，
∴an=3﹣（n为正偶数）．
函数an=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，
函数an=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，
若（t﹣an+1）（t﹣an）＜0恒成立，
则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（12分）（2017•郴州三模）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
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【分析】（1）由已知及余弦定理，基本不等式可得，利用三角形面积公式即可得解△ABC的面积的最大值．
（2）设∠ACD=θ，利用三角形面积公式可解得，可求，由余弦定理得即可解得AD的值，利用正弦定理可求sinA，进而利用正弦定理可求BC的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵，
∴由余弦定理可得：…（2分）
∴，…（4分）
∴，
所以△ABC的面积的最大值为…（6分）
（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，，
∴，解得：，∴…（7分）
由余弦定理得：，
∴，…（9分）
∵，∴，
∴，此时，
∴．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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18．（12分）（2017•郴州三模）2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；
（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；
（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．
（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取7人，设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，则为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率．
（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，
解得a=0.035．
（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取=7人，
设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，
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则为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，
则抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率：
P（A）=1﹣P（）=1﹣=．
（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3，），
且P（X=k）=，k=0，1，2，3，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
EX=np=3×=．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图、对立事件概率乘法公式、二项分布的合理运用．
19．（12分）（2017•郴州三模）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．
【考点】平面与平面垂直的判定．
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【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．
（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．
【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，
又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l⊥面PAC．
（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，
过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），
E（），F（），
，，
设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，
则，
取z=，得，，
|cos＜＞|==，
|cos＜＞|==，
依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，
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∴y=±1．
∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）（2017•郴州三模）已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x0，y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．
【考点】圆锥曲线的综合；轨迹方程．
【分析】（1）利用代入法，求曲线C的方程；
（2）设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），圆心（2，0）到切线的距离d==2，整理可得，表示出面积，利用函数的单调性球心最小值．
【解答】解：（1）设P（x，y），则点N（2x，2y）在抛物线E：y2=8x上，
∴4y2=16x，
∴曲线C的方程为y2=4x；
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（2）设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．
令y=0，可得x=，
圆心（2，0）到切线的距离d==2，
整理可得．
设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，k1k2=，
∴△QAB面积S=|（x0﹣）﹣（x0﹣）|y0=2•
设t=x0﹣1∈[4，+∞），则f（t）=2（t++2）在[4，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥，即△QAB面积的最小值为．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用．
21．（12分）（2017•郴州三模）已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在上的最小值；
（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＜0时，求出导函数的零点﹣，1，分﹣＞1，≤﹣≤1，﹣＜，讨论函数f（x）在区间[，1]
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上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；
（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到ln =，令=t后构造函数g（t）=lnt﹣（t＞1），根据函数的单调性判断不成立．
【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx，
∴f′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣=，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，
①当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．
②当≤﹣≤1，即﹣1≤a≤﹣时，
f（x）在[，﹣]上是减函数，在[﹣，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．
③当﹣＜，即a＜﹣1时，f（x）在[，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f（）=﹣a+ln2．
综上，函数f（x）在区间[，1]上的最小值为：
f（x）min=；
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（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，
直线AB的斜率k1== [a（x12﹣x22）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]
=a（x1+x2）+（1﹣2a）+，
曲线C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，
即=﹣，
∴ln ==，
不妨设x1＜x2， =t＞1，则lnt=，
令g（t）=lnt﹣（t＞1），则g′（t）=﹣=＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，
∴g（t）＞0，即lnt=不成立，
∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．
[选修4-4：参数方程与极坐标系]
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22．（10分）（2017•郴州三模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．
（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|•|PN|的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得直角坐标方程．把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程．
（II）P（1，0）．把直线l的参数方程代入圆C的方程为： +1=0，|PM|•|PN|=|t1•t2|．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x+y﹣1=0．
曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x2+（y﹣2）2=4．
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程为：ρ=4sinθ．
（II）P（1，0）．把直线l的参数方程代入圆C的方程为： +1=0，
t1+t2=3，t1•t2=1，
∴|PM|•|PN|=|t1•t2|=1．
【点评】本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•郴州三模）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．
【考点】两点间距离公式的应用；函数恒成立问题．
【分析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．
【解答】解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，
即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，
解得x＞3；
（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，
也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，
因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，tmin=4．
故t的最小值为：4．
【点评】本题考查新定义：直角距离的理解和运用，考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，属于中档题．
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