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高三文科数学综合测试（二）
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，若复数满足，则复数的模
A. B. C. D.
3.已知向量，向量，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为( )
A．2 B．－1 C．1 D．4
5. 设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知流程图如图(左下图)所示,该程序运行后,为使输出的值为16，则循环体的判断框内①处应（ ）
开始
a=1,b=1
输出b
a=a+1
b=2b
结束
是
否
①？
A． B． C． D．
7.一个几何体的三视图如图(右上图)所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
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A． B． C． D．
8．已知数列为等差数列，若且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（ ）
A.11 B.19 C.20 D.21
9．已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 （ ）
A． B． C． D．
10.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5 B．29 C．37 D．49
11．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. (1,3] B. [3, +) C. (1,2] D. [2，+)
12．对函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做函数的下确界．现已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则的下确界为 （ ）.
A．2 B．1 C．-2 D． -1
第II卷（非选择题）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.若，则 ．
14.方程有实根的概率为 ．
15.在数列中，已知，记为数列的前项和，则 .
16.已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
在△ABC中，内角所对的边分别为，已知.
(Ⅰ)求证：成等比数列；
(Ⅱ)若，求△的面积S.
18.(本小题满分12分)
某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
图14
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：K2＝
19. (本小题满分12分)
如图，平面，，，，分别为的中点．
（I）证明：平面；
（II）求与平面所成角的正弦值．
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20. (本小题满分12分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
21. (本小题满分12分)
已知函数其中
(1)当时，求曲线处的切线的斜率；
(2)当时，求函数的单调区间与极值。
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
已知直线为参数), 曲线 （为参数）.[:.]
(I)设与相交于两点,求；
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(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲 线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．
高三文科数学综合测试（二）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
C
A
C
B
B
D
C
A
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 14. 15. -1006 16. 5
三、解答题：
17．解： (I)由已知得：
，
，
，
再由正弦定理可得：，
所以成等比数列.
(II)若，则，
∴，
，
∴△的面积.
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18解： (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19.（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC平面ABC，，所以平面ABC
而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中， ，
所以
20．解： 设椭圆的焦距为2c, 则 F1(－c, 0), F2(c, 0)．
(1)因为B(0, b), 所以BF2＝＝a.又BF2＝， 故a＝.
因为点C在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
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(2)因为B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 ＋＝1.
解方程组得
所以点 A 的坐标为.
又AC 垂直于x 轴， 由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为.
因为直线 F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2，故e2＝，
因此e＝.
21. （I）解：
（II）
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
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↗
极大值
↘
极小值
↗
22. （I）的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,
则. ………………5分
（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是
,
由此当时,取得最小值,且最小值为.…………10分
23.解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；
当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；
当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．
故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．
（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），
当且仅当a=b=c=时，等号成立．
此时，ab+bc取得最大值=1．
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