2017年沈阳市高考理科数学二模试卷含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}‎ ‎3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎5．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．[4，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B．8 C． D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，6） B．（，6） C．（，5） D．（，5）‎ ‎　‎ 二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有　　种不同的分法（用数字作答）．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．函数f（x）=ex•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是　　．‎ ‎15．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=　　．‎ ‎16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（12分）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．‎ ‎18．（12分）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面ABE；‎ ‎（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．‎ ‎20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的极值；‎ ‎（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；‎ ‎（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知直接利用求解．‎ ‎【解答】解：∵z=1+2i，∴ =|z|2=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，‎ B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．‎ ‎【解答】解：由p⇒q，反之不成立．‎ ‎∴p是q的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，‎ 抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，‎ 其准线方程为：y=﹣，‎ 分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，‎ 即|PF|的最小值为，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．‎ ‎　‎ ‎5．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式可得an．及其数列{an}的前n项和Sn．令an≥‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎0，解得n，分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列．‎ ‎∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．‎ 数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n．‎ 令an=2n﹣7≥0，解得．‎ ‎∴n≤3时，|an|=﹣an．‎ n≥4时，|an|=an．‎ 则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．[4，+∞） D．[﹣2，2]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）‎ 当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．‎ 故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]‎ 故选：B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B．8 C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，‎ 所以几何体的体积是： =．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，‎ ‎∴n的最小值为4，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的对称性．‎ ‎【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．‎ ‎【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，‎ 方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，‎ ‎∴=，‎ 则x1+x2=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m的值，当m=时，满足条件|a﹣b|＜d，输出m的值为．‎ ‎【解答】解：输入a=1，b=2，m=，‎ f（1）=﹣1＜0，f（m）=f（＞0，f（1）f（m）＜0，‎ a=1，b=，|1﹣|=＞，‎ m=，f（1）=﹣1，f（m）=f（）＜0，f（1）f（m）＞0，‎ a=，b=，|﹣|=＞，m=，‎ f（a）=f（）＜0，f（m）=f（）＜0，f（a）f（m）＞0，‎ a=，b=，|﹣|=＜0.2，‎ 退出循环，输出m=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S，k的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∈[1，2]，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，向量，，‎ ‎=（3m+n，m﹣3n），‎ 则==，‎ 令t=，则=t，‎ 而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，‎ t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，‎ 分析可得：≤t＜2，‎ 又由=t，‎ 故≤＜2；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，6） B．（，6） C．（，5） D．（，5）‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+＜2（m﹣1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，‎ 当m=2时，f（x）==1，‎ 此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．‎ 当m＞2时，f（x）∈[1+，m﹣1]，‎ 只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．‎ 当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，‎ 只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，‎ 综上，实数m的取值范围（，5），‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有　48　种不同的分法（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，‎ ‎∴共有8×6=48种不同的分法．‎ 故答案为48．‎ ‎【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=ex•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是　y=x　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex•sinx，f′（x）=ex（sinx+cosx），（2分）‎ f′（0）=1，f（0）=0，‎ ‎∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为 y﹣0=1×（x﹣0），‎ 即y=x（4分）．‎ 故答案为：y=x．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=　30　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，‎ ‎∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得a1=q=2．‎ 则S4==30．‎ 故答案为：30．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；‎ 方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．‎ ‎【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得 ‎，‎ 则Rt△OAB中，∠AOB=，‎ 渐近线OB的斜率k==tan=，‎ 即离心率e===．‎ 解法二：设过左焦点F作的垂线方程为 联立，解得，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 联立，解得，，‎ 又，∴yB=﹣2yA∴3b2=a2，‎ 所以离心率．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（12分）（2017•沈阳二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）‎ ‎=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，‎ f（x）的最小正周期T==π；‎ ‎（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，‎ 又∵BC=3，‎ ‎∴9=（b+c）2﹣bc．‎ ‎∵bc≤，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴，‎ ‎∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，‎ ‎∴三角形周长最大值为3+2．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•沈阳二模）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，‎ 其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，‎ 对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，‎ 其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，‎ 直方图如图所示：‎ ‎，‎ 由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．‎ ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，‎ 其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，‎ 记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，‎ 且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的问题，是综合题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎19．（12分）（2017•沈阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面ABE；‎ ‎（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．‎ ‎（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．‎ ‎【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，‎ 又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．‎ ‎（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）‎ 设平面PFM的法向量，，即，‎ 设平面BFM的法向量，，‎ 即， ，解得．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•沈阳二模）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆Q的长轴长为2，求出a=，设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，﹣．化简求出b，即可得到椭圆方程；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=2，则a=，设P（x0，y0），‎ ‎∵直线PA与OM的斜率之积恒为﹣，∴×=﹣，‎ ‎∴+=1，‎ ‎∴b=1，‎ 椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，‎ 则x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 则y1+y2=k（x1+x2+2）=，‎ ‎∴AB中点Q（﹣，），‎ QN直线方程为：y﹣=﹣（x+）=﹣x﹣，‎ ‎∴N（﹣，0），由已知得﹣＜﹣＜0，‎ ‎∴0＜2k2＜1，‎ ‎∴|AB|=•=•‎ ‎=•=（1+），‎ ‎∵＜＜12k2+1＜1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴|AB|∈（，2），‎ 线段AB长的取值范围（，2）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•沈阳二模）已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的极值；‎ ‎（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；‎ ‎（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；‎ ‎（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），‎ x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．‎ 当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．‎ ‎（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，‎ 只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．‎ 设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），‎ ‎，‎ ‎∴F（x）＞F（0）=0，‎ 故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即f（e+x）＞f（e﹣x），‎ ‎（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，‎ 由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），‎ 又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，‎ ‎∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，‎ ‎∴，∴f'（x0）＜0．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．‎ ‎（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 可得直角坐标方程：．‎ 直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．‎ ‎（2），直角坐标为（2，2），，‎ ‎∴M到l的距离≤，‎ 从而最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；‎ ‎（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，‎ ‎∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2；‎ 法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，‎ 显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）的最小值为f（）=a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2．‎ ‎（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，‎ ‎=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），‎ 当a=b=时，取得最小值，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法二：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴≥t恒成立，‎ t≤=+恒成立，‎ ‎+=+≥=，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法三：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，‎ ‎∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，‎ ‎∴（3+2t）2﹣326≤0，‎ ‎∴≤t≤，实数t的最大值为．‎ ‎【点评】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费