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鹰潭市2017届高三第二次模拟考试
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）
A． B． C． D．
3.鹰潭气象台通缉，5月1日贵溪下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设为下雨，为刮风，则（ ）
A． B． C． D．
4.的内角的对边分别为，若，则的外接圆面积为（ ）
A．4 B．8 C.9 D．36
5.双曲线离心率为，左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为，则双曲线方程为（ ）
A． B． C. D．
6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D．向右平移个单位
7.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”
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者，如果棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积.设隙积共层，上底由个物体组成，以下各层的长、宽一次各增加一个物体，最下层（即下底）由个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为
.已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）
A．83 B．84 C. 85 D．86
8.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
9.定义运算：，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C. D．
10.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为（ ）
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A．的值
B．的值
C. 的值
D．的值
11.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角余弦值为（ ）
A． B． C. D．
12.若在上存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，若，则 ．
14.化简： ．
15.已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为 ．
16.已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
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①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点.
其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列与，若且对任意正整数满足，数列的前项和.
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.如图，四棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.
（I）求证：平面；
（II）证明：平面平面.
19.某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：
其中一个数字被污损.
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（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）
年龄（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.
参考公式：，.
20.已知圆与圆，以圆的圆心分别为左右焦点的椭圆经过两圆的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线上有两点（在第一象限）满足，直线与交于点，当最小时，求线段的长.
21.函数，.
（I）讨论的极值点的个数；
（2）若对于任意，总有成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
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（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点.若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求时，求不等式的解集；
（2）当时，若的图象与轴围成的三角形面积等于6，求的值.
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试卷答案
一、选择题
1-5: CBBCB 6-10: ACAAC 11、12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 8 16.②④
三、解答题
17.（1）；（2）
试题解析：
（1）由题意知数列是公差为2的等差数列，又因为，
所以.
当时，
当时，
，
对不成立.
所以，数列的通项公式：.
（2）时，.
时，，
所以，
仍然适合上式，
综上，.
18.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
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试题解析：
解：（Ⅰ）因为，
是中点，所以，
且，
四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）连接，设交于，连，
则是正方形，所以，
因为是中点，所以，
显然，则，
即，
因为，所以平面，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面.
19.（1）；（2）详见解析.
试题解析：
（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有
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0,1,2,3,4,5,6,7共8个，所以其概率为.
（2）由表中数据得，，
∴，线性回归方程.
可预测年龄为55观众周均学习成语知识时间为4.9小时.
20.（1）；（2）3.
试题解析：
解：（1）设圆与圆的其中一个交点为，则，
∴，
∴，
∴椭圆C的方程为；
（2）设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，当且仅当时“=”号成立，此时，
∴，
∴.
21.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
（Ⅰ）解法一：由题意得，令
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（1）当，即时，对恒成立
即对恒成立，此时没有极值点；
（2）当，即或
①时，设方程两个不同实根为，不妨设，
则，故，
∴或时；在时
故是函数的两个极值点.
②时，设方程两个不同实根为，则，
故，∴时，；故函数没有极值点.
综上，当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
解法二：
，
∵，∴，
①当，即时，对恒成立，在单调增，没有极值点；
②当，即时，方程有两个不等正数解，
不妨设，则当时，，增；时，，减；时，，增，所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点.
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综上所述，当时，没有极值点；
当时，有两个极值点.
（Ⅱ），
由，即对于恒成立，
设，
，
∵，∴时，，减，时，，增，
∴，
∴.
22.（1）；线的直角坐标方程为；（2）.
试题解析：（1）∵直线的参数方程为（为参数），
∴直线的普通方程为
由，得，即，
∴曲线的直角坐标方程为.
（2）∵点的极坐标为，∴点的直角坐标为.
∴,直线的倾斜角.
∴直线的参数方程为（为参数）.
代入，得.
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设两点对应的参数为.
∵为线段的中点，
∴点对应的参数值为.
又点，则.
23.（1）；（2）-2.
【解析】（1）当时，化为，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得，
所以的解集为.
（2）由题设可得，
当时，，，，又，
所以函数的图象与轴围成的三角形位于轴左侧，且三个顶点分别为
所以的面积为，即的值为-2.
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