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成都市9校2017届高三第四次联合模拟理科数学试卷
考试时间共120分钟，满分150分
试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
开始
结束
1．设集合,,则
A． B．
C． D．
2．已知，则复数的实部与虚部的和为
A． B． C． D．
3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入的值
为，的值为，则执行该程序框图输出的结果为
A． B． C． D．
4．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广
告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
广告费
2
3
4
5
（第3题图）
6
销售额
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为
A． B． C． D．
5．设，，，则的大小关系是
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A． B． C． D．
6．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为
A．60 B．40
C．120 D．240
7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为
A． B．
（第7题图）
C． D．
8．设等差数列满足，且，为其前项和，则数列的最大项为
A． B． C． D．
9．已知变量满足约束条件若目标函数的最
小值为2，则的最小值为
A． B．5+2 C． D．
10．已知（，）的图象在轴上的截距为，且，若对于任意的，都有，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
11．如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物
线及圆的实线部分上运动，且
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总是平行于轴，则的周长的取值范围是
A． B． C． D．
（第11题图）
12．若关于的方程（为自然对数
的底数）有且仅有个不等的实数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13. 已知，则的展开式中的系数为 ．
14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、
两点，为的实轴长的倍，则的离心率为 ．
在直角三角形中，,对平面内的任一点，平面内有一点,
使得，则 ．
设为数列的前项和, 已知,对任意,都有，
则的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
如图, 在△中, 点在边上, .
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若△的面积是, 求.
18．（本小题满分12分）
学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：
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古文迷
非古文迷
合计
男生
26
24
50
女生
30
20
50
合计
56
44
100
（Ⅰ）根据表中数据能否判断有的把握认为“古文迷”与性别有关？
（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；
（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.321
3.841
5.024
6.635
19．（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形中，//，⊥，⊥, 点是 边的中点, 将△沿折起，使平面⊥平面，连接,,, 得到如图2所示的几何体.
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的大小.
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图1
图2
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点.
（Ⅰ）求实数取值所组成的集合；
（Ⅱ）是否存在定点使得对任意的，都有直线的倾斜角互补.若存在，求出所有定点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若函数有零点, 求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明:当，时, .
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为：.
（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.
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23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若, 求证：.
理数双向细目表
序号
知识考点
能力要求
考点
分值
识记
理解
简单应用
综合应用
1
集合的运算
√
5
2
复数的运算
√
5
3
框图算法
√
5
4
线性回归
√
5
5
指数对数的运算
√
5
6
排列组合
√
5
7
三视图
√
5
8
等差数列前n项和
√
5
9
线性规划、均值不等式
√
5
10
三角函数恒成立求参数范围
√
5
11
抛物线定义
√
5
12
二次方程根的分布
√
5
13
定积分、二项式定理
√
5
14
双曲线的离心率
√
5
15
平面向量的运算
√
5
16
数列的最值
√
5
17
正弦定理、余弦定理
√
12
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18
变量的相关性、分布列、期望
√
12
19
空间位置关系证明、求二面角
√
12
20
直线与椭圆位置关系、综合应用
√
12
21
函数零点、函数与导数的综合应用
√
12
22
23
参数方程、极坐标方程的互化
直线参数方程的应用
解绝对值不等式及证明
√
10
√
合计
150
比例
理数答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）C （4）D （5）B （6）A
（7）C （8）B （9）A （10）B （11）B （12）D
二、填空题
（13） （14） （15）6 （16）
三、解答题
(17) 解:
(Ⅰ) 在△中, 因为,
由余弦定理得, ………………………1分
所以,
整理得, ………………………2分
解得. ………………………3分
所以. ………………………4分
所以△是等边三角形. ………………………5分
所以 ………………………6分
(Ⅱ)由于是△的外角, 所以. ………………………7分
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因为△的面积是, 所以.…………………8分
所以. ………………………………………………………………………9分
在△中,
,
所以. ………………………………………………………………………10分
在△中, 由正弦定理得, ………………………11分
所以.………………………………………………12分
（18）解：
（1）由列联表得
所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．……………………3分
（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．
即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人……………6分
（3）因为为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．
，，．……………9分
所以随机变量的分布列为
1
2
3
于是．……………12分
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(19) 解：
(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，
又⊥，所以⊥平面……………………1分
因为平面，所以⊥………………………2分
又⊥
∩
所以⊥平面. …………………………………………4分
(Ⅱ) ，.
依题意△～△，
所以，即. …………5分
如图所示，建立空间直角坐标系，则,,，
，，
，.……………………………………6分
由（Ⅰ）知平面的法向量.……………………………………7分
设平面的法向量
由得
令，得,
所以. ………………………………………9分
所以. …………………………………………11分
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由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的大小为. ……………………………………12分
（20）解：
（1）因为直线不过原点，所以，…………………………1分
将与联立，消去得：
，…………………………………2分
因为直线与椭圆有两个不同的公共点，
所以，解得，…………………3分
所以实数的范围组成的集合是………………………4分
（2）假设存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，
设,由（1）知是的两个根，
所以……………………………………………5分
由题意：…………………………………………6分
所以
整理得：…………………………7分
代入化简得：…………………………………9分
由题意解得或…………………………10分
所以定点的坐标为或，
经检验，满足题意，
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所以存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，
坐标为或.…………………………………………………12分
（21）解:
(Ⅰ) 函数的定义域为.
由, 得. ……………………………………1分
因为,则时, ;时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, . …………………………………………………3分
当, 即时, 又, 则函数有零点.
所以实数的取值范围为. ……………………………………………………5分
(Ⅱ) 令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, .
于是,当时, ① ………………………………………7分
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
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当时,
于是, 当时, ② ………………………………………………9分
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时, . ……………………………………………10分
因为所以.
所以.
所以, 即. ………………………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）曲线化为普通方程为：,………………………（2分）
由，得
所以直线的直角坐标方程为.……………………………………（5分）
（2）直线的参数方程为（为参数），……………………（7分）
代入化简得：，…………………………（9分）
设两点所对应的参数分别为，则，
∴. …………………………………………（10分）
（23）解：
(Ⅰ) 因为，所以.
① 当时，得，解得，所以; …………2分
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② 当时，得，解得，所以; …………3分
③ 当时，得，解得，所以; ……………4分
综上所述，实数的取值范围是. ……………………………5分
(Ⅱ) 因为R ,
所以 ……………………………7分
……………………………………………………………9分
. ……………………………………………………………10分
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