由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2017年河南省六市高三第二次联考
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为（ ）
A B C D
4.如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为（ ）
① ② ③ ④
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
5.已知圆.设条件：，条件：圆上至多有2个点到直线的距离为1，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
6.若，则的展开式中的常数项（ ）
A. B. C.20 D.
7.若不等式组，所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数和10个区间上的均匀随机数（，），其数据如下表的前两行.
2.50
1.01
1.90
1.22
2.52
2.17
1.89
1.96
1.36
2.22
0.84
0.25
0.98
0.15
0.01
0.60
0.59
0.88
0.84
0.10
0.90
0.01
0.64
0.20
0.92
0.77
0.64
0.67
0.31
0.80
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ）
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（ ）
A.钱 B.钱 C.钱 D.钱
11.已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动（）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.向量，，若，则 ．
14.已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列的前10项和为 ．
15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．
16.若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 ．
三、解答题
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：、、三级为合格等级，为不合格等级.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.
（1）求和频率分布直方图中的，的值；
（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
（3）在选取的样本中，从、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
19.如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.
20.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上， 且在第一象限内，直线与圆相切于点，且，求点的纵坐标的值.
21.已知函数，，（其中是自然对数的底数）.
（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围.
（2）若，求证：.
22.在极坐标系中，曲线的方程为，点.
（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；
（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值，及此时点的直角坐标.
23.设函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2017年河南省六市高三第二次联考
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:CABDC 6-10:BADAB 11、12：AC
二、填空题
13.3 14.58 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）在中，由正弦定理得，
即，又角为三角形内角，，
所以，即，
又因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得：
，则，
即，解得（舍）或，
又，所以.
18.解：（1）由题意可知，样本容量.
，.
（2）样本中成绩是合格等级的人数为人，成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为.
设从该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为，则.
（3）样本中等级的学生人数为人，等级的学生人数为3人，故的
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：
0
1
2
3
.
19.解：（1）因为是直径，所以，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为平面，，
所以平面，，
在中，，
由（1）知，
当且仅当时，等号成立.
如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，.
则，，，.
设平面的一个法向量为，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
则，即，
∴，取，则
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
∴，取，则，
∴，
∴二面角的余弦值为.
20.解：（1），∴，，∴，
∴椭圆方程为.
（2）①当轴时，，，
由，解得.
②当不垂直于轴时，设，方程为，即，
∵与圆相切，∴，
∴，
∴，
又，所以由，得，
∴
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴.
综上：.
21.解：（1）因为不等式等价于，
所以，使得不等式成立，等价于，即，
当时，，故在区间上单调递增，所以时，取得最小值.
又，由于，，，
所以，故在区间上单调递减，因此时，取得最大值.
所以，所以.
所以实数的取值范围为.
（2）当时，要证，只要证，
只要证，
只要证，
由于，，只要证.
下面证明时，不等式成立，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当且仅当时，取得极小值也就是最小值为1.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
令，其可看作点与点连线的斜率，
所以直线的方程为，
由于点在圆，所以直线与圆相交或相切.
当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为1.
故时，；时，.
综上所述：时时，成立.
22.解：（1）∵，，
∴曲线的直角坐标方程为.
点的直角坐标为.
（2）设，根据题意可得，，
∴，
当时，取最小值2，
所以矩形周长的最小值为4.
此时点的直角坐标为.
23.解：（1）不等式即，
∴①或②或③，
由①，得；由②得，；由③，得.
所以原不等式的解集为
（2）不等式即，∴，∴且，∴.
∴
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付