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雅安中学2017年初中直升高中暨对外招生测试
数学试题
【温馨提示】1、考试时间120分钟，满分150分。2、本试卷一张共四页，全部试题均在答题卡上完成。
第I卷（选择题部分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，每个小题只有一项符合题目要求）
1.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.00000025m的颗粒物，将0.00000025用科学计数法表示为（ ）
A.2.5 B. 2.5 C. 25 D.0.25
2.要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A.x-2 B.X-2 C. x1 D. x-2 且x 1
3. 若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A.m= B.m=3 C. m=或1 D. m=或3
4. 一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570º，则这个内角的度数为（ ）
A.120 º B.130º C.135 º D.150 º
5.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D点，
若AB=5，CD=3，那么BC的长为（ ）
A.7.5 B.10 C.11 D.9
6. 如图所示，BE=2EC,D是线段AC的中点，BD和AE交于点F,
已知△ABC的面积是3，求四边形DCEF的面积（ ）
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A. B. C. D.
7. 方程，求满足该方程的所有根之和为（ ）
A.0 B.2 C. D.2-
8. 计算：的值为（ ）
A. 2 B.4 C.6 D.-4
9. 若（）是方程（）的两根,则实数，,b
的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，
BE=BC,P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于R，
则PQ+PR的值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数y = ,若使y=k成立的x的值恰好有3 个，则k的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
12.已知一元二次方程的两实根为，则代数式
的最小值为（ ）
A.2 B.8 C.10 D.12
第II卷（客观题部分）
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二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 已知一组数据的方差是，那么另一组数据
的方差是 。
14. 已知，则 。
15. 定义：f（a,b）=(b,a)，g(m,n)=(-m,-n)。例如：f(2,3)=(3,2)，g(-1,-3)=(1,3)。
则g(f(-5,6))等于 。
16. 满足不等式：的X的取值范围 。
17. 如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在m同一直线上，点M1,M2, M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，……△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ____ ________。(用含n的式子表示)
18．已知满足，则的值为 。
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，要求写出必要的解答过程或步骤）
19.（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：-º+ -+
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷ ﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0。
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20．（12分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑。希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑。
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相等，那么
A型号电脑被选中的概率是多少？
（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如右图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台？
O
x
A
y
21. （8分）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像有一交点为A(-2，b)点。
（1） 求一次函数的表达式；
（2） 若将直线AB向下平移m（m>0）个单
位长度后与反比例函数的图像有且只有一
个公共点，求m的值。
22. （10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是圆上异于A、B的一
点，C是劣弧AD中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。
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23. （10分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
24. （10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
25.（16分）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线
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y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒。
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。
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雅安中学2017年初中直升高中暨对外自主招生测试
数学试卷参考答案
一、选择题（每小题4分，共48分）
1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.D 11.D 12.B
二、填空题（每小题4分，共24分）
三、解答题（共78分）
19.计算题（1）解：原式=(4分)
(6分)
（2）解：原式=(2分)
=(3分)
=(4分)
又因为，所以(5分)
所以 原式==1(6分)
20.解：（1）列表如下图：
乙
甲
A
B
C
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
有6种结果：（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）；（4分）
或 列树状图如下:
有6种结果：（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）；
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（2）因为选中A型号电脑有2种方案，即（A，D）（A，E），
所以A型号电脑被选中的概率是；(6分)
（3）由（2）可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，
根据题意，得
解得，经检验不符合实际，舍去；(8分)
当选用方案（A，E）时，设购买A型号、E型号电脑分别为a，b台，
根据题意，得 解得．
所以希望中学购买了7台A型号电脑．(12分)
21.（1）反比例函数过点A(-2，b),
b=4 (2分)
A(-2,4).把A(-2，4)带入y=kx+5得-2k+5=4 解得k=
一次函数的表达式为：y=x+5(4分)
（2）令直线AB向下平移m个单位得到的解析式为y=x+5-m
由得(6分)
图像只有一个公共点，
△=解得m=1或m=9(8分)
22题：（1）AB是直径，AB⊥CE于H点，
，∠ACB=90º(1分)
又C是的中点，
∠CAP=∠ACP
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AP=CP(3分)
在Rt△ABC中，∠CAP+∠AQC=∠ACP+∠PCQ=90º
∠AQC=∠PCQ PC=P中/华-资*源%库Q
AP=PQ，即P是AQ的中点(5分)
（2）由（1）可知：所以∠CAP=∠ABC,
∠ACQ=∠ACB, △ACQ∽△BCA
(7分)
在Rt△ABC中，由勾股定理
AC=6，BC=8(8分)
(9分)
由（1）知CE=2CH=9.6(10分)
23. （1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；(3分)
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；(6分)
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，(8分)
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
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∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．(10分)
24.（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，(1分)
则∠BDE+∠FDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，(2分)
∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠C=45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，
∵∠FBD=45°，DF⊥BC，
∴∠BFD=45°，BD=DF，
∴∠AFD=135°，
∴∠EBD=∠AFD，(4分)
在△BDE和△FDA中
，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD=DE；(5分)
（2）解：DE=AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG=90°，
∴∠BDE=∠ADG，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠C=60°，
∵MN∥AC，
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∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，
∵∠ABC=30°，DG⊥BC，
∴∠BGD=60°，
∴∠AGD=120°，
∴∠EBD=∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，
∴=，
在Rt△BDG中， =tan30°=，
∴DE=AD；(10分)
25.(1)∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
解得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；(2分)
（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t．
在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；(4分)
如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t．
在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．
综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形；(6分)
（3）如图③所示：
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设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2．
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．
解得：t1=1，t2=3（舍去）．
将t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）．(9分)
（4）如图④所示：
设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t）．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴点M的坐标为（1，4）．
∴MB==．(10分)
AB=, AM= ∴
∴∠ABM=
即：∠QBM=∠BOP
当△BOP∽△QBM时， 即：，整理得：t2﹣3t+3=0，
△=32﹣4×1×3＜0，无解：(12分)
当△BOP∽△MBQ时， 即：，解得t=
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∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． (16分)
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