2017届高三数学理科二模金卷分项汇编8：立体几何(含答案).doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】‎ 专题 立体几何 一、选择题 ‎1．【2017安徽马鞍山二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由三视图可知，该几何体是以俯视图为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥，如图，由勾股定理可得 由正弦定理可得底面外接圆直径 设球半径为 ，则由勾股定理得 ，该几何体的外接球的表面积 为 故选C.‎ ‎2．【2017安徽马鞍山二模】将正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，则折后的直线BD与平 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 面ABC所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎3．【2017重庆二诊】已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，‎ 且切点分别在线段上，设线段上的切点为， 面，圆柱上底面的圆心为，半径即为记为，则， ，由知，则圆柱的高为，‎ ‎.应选答案D。‎ ‎4．【2017湖南娄底二模】在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎5．【2017河北唐山二模】正方体棱长为6， 点在棱上，且，过点的直线与直线， 分别交于， 两点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据题意作图，由图可知： ， ，∴， ，‎ ‎ 故，∴，故选D. ‎ 点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，空间想象能力以及线面平行的判定及性质定理，准确画出图形是解决本题的关键，难度一般；由三角形相似可得，由勾股定理可得，再次利用三角形相似，从而可得结果.‎ ‎6．【2017河北唐山二模】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知：该几何体是以2为边长正方体从右下前方挖去个球，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为，故选A.‎ ‎7．【2017安徽淮北二模】某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长是（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】几何体为一个三棱锥ABCD，其中，因此最长的棱长是，选A.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 点睛：‎ ‎1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎8．【2017江西4月质检】如图，直三棱柱中， ， ， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：‎ ‎①直线与直线是异面直线；②一定不垂直；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为.‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎9．【2017江西4月质检】一个三棱锥的三视图如图（图中小正方形的边长为1），若这个三角棱锥的 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 顶点都在同一个球的球面上，则这个球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，三棱锥的底面是一斜边为的等腰直角三角形，且过直角顶点的侧棱垂直底面，该侧棱长为，可以把该棱锥补成一个底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，外接球的直径为，所以表面积为，故选B.学。‎ ‎10．【2017福建4月质检】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图可得该几何体由一个圆柱和一个半球组成，故该几何体表面积为： ‎ 点睛：将三视图还原为立体图形便可很容易解决，要注意面积公式的准确性 ‎11．【2017四川宜宾二诊】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得，在俯视图中（如图所示），过点作，则,‎ 且,‎ 所以俯视图的面积为，‎ 所以构成四棱锥的体积为，故选B.‎ ‎ ‎ ‎12．【2017四川宜宾二诊】三棱锥内接于半径为的球， 过球心，当三棱锥体积取得最大值时，三棱锥的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二、填空题 ‎13．【2017安徽淮北二模】中国古代数学经典中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．若三棱锥为鳖臑,且⊥平面, 又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得,所以由得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎,因此鳖臑的体积为 ‎14．【2017福建4月质检】在三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， ，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：画出草图分析几何关系即可得出结论 ‎15．【2017福建4月质检】用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】设正三棱柱的底边长为，高为y,则，由基本不等式可得故三棱柱的侧面积最大值为6‎ 点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可 三、解答题 ‎16．【2017安徽阜阳二模】如图，在底面为直角梯形的四棱锥中， 为的中点， 平面. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先取中点，利用三角形中位线性质得，再根据梯形性质得，即得面面平行，最后根据面面平行定义可得线面平行，（Ⅱ）求线面角，一般利用空间向量数量积进行求解，先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与平面法向量的夹角，最后根据线面角与向量夹角关系确定所求角.‎ 试题解析：（Ⅰ）取中点，连接 是直角梯形， ‎ 又， ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，则 设是平面的一个法向量. ‎ 则 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．【2017广东佛山二模】如图，矩形中， ， ， 在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）连接交于点，根据对应边成比例可证得两个直角三角形相似，由此证得，而，故平面，所以.（II）由（I）知平面，以为原点联立空间直角坐标系，利用平面和平面的方向量，计算两个半平面所成角的余弦值.‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，‎ 由（Ⅰ）知， 平面，‎ 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在中，易得， ， ，‎ 所以， ， ，‎ 则， ，‎ 设平面的法向量，则，即，解得，‎ 令，得，‎ 显然平面的一个法向量为.‎ 所以 ，所以二面角的余弦值为.‎ ‎18．【2017安徽马鞍山二模】已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P．‎ ‎(Ⅰ)求曲线长度；‎ ‎(Ⅱ)当时，求点到平面APB的距离；‎ ‎(Ⅲ)证明：不存在，使得二面角的大小为．‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 不存在 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)在侧面展开图中根据几何性质求解；(Ⅱ) 建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABP的一个法向量及向量 ，利用空间向量点到直线距离公式求解；(Ⅲ)假设存在满足要求的，在空间坐标系中求出法向量，根据空间向量夹角余弦公式，列出关于的方程，看是否有解即可.‎ 试题解析：(Ⅰ) 在侧面展开图中为BD的长，其中AB = AD = π，‎ ‎∴的长为; ‎ 注：本题也可以使用等积法求解． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(Ⅲ) 假设存在满足要求的，‎ 在（II）的坐标系中， ，‎ ‎，‎ 设平面ABP的法向量为，则 ‎，‎ 取x1 = 1得，‎ 又平面ABD的法向量为，‎ 由二面角的大小为，‎ 则 ． ‎ ‎∵，∴时，均有，与上式矛盾．‎ 所以不存在使得二面角的大小为．‎ ‎19．【2017重庆二诊】如图，矩形中， ， ， 为的中点，将沿折到的位置， ．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）若为的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）由见解析； （Ⅱ）. ‎ ‎【解析】【试题分析】（１）先用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再运用面面垂直的判定定理推证；（２）依据题设建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，再运用空间向量的数量积公式求解：‎ ‎（Ⅰ）由题知，在矩形中， ， ，又，‎ 面， 面面； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面内过作直线，则平面，‎ 故以为原点， 分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则， ， ， ，‎ 于是， ， ，‎ 设平面的法向量为，则 令，得平面的一个法向量，显然平面的一个法向量为，‎ 故，即二面角的余弦值为. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．【2017湖南娄底二模】如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， , .‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）要证平面平面，只需证平面即可.‎ ‎（Ⅱ）分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，求平面的一个法向量和平面的一个法向量求解即可.‎ ‎（Ⅱ）连结，设，则为的中点，连结，当平面时， ，所以是的中点.‎ 由（Ⅰ）知， 、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则、、、，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由、坐标得，从而， ，‎ 设是平面的一个法向量，则由得，‎ 取，得，易知平面的一个法向量是，‎ 所以 ，‎ 由图可知，二面角的平面角为钝角，故所求余弦值为.‎ 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎21．【2017河北唐山二模】在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， 点在底面内的射影在线段上，且， ， 为的中点， 在线段上，且． ‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：平面平面；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）. ‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，‎ ‎，在中， ， ， ，由余弦定理得．　‎ 所以，从而有.‎ 在中， ， 分别是， 的中点，‎ 则， ，‎ 因为，所以.‎ 由平面， 平面，‎ 得，又， ，‎ 得平面，又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点， ， ， 所在直线分别为轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， .‎ 平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由， ，得令，得.‎ 由题意可得， ，‎ 解得，‎ 所以四棱锥的体积. ‎ ‎22．【2017安徽淮北二模】如图，三棱柱中，四边形是菱形，,二面角为， .‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面;‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由三棱柱性质将线面垂直转化为，再由得线线垂直，又由是菱形得,最后根据线面垂直判定定理得线面垂直, 根据面面垂直判定定理得平面平面.（2）求二面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 角的大小，一般借助空间向量数量积求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系求二面角.‎ ‎（2）‎ 由题意得为正三角形，‎ 取得中点为D，连CD,BD,‎ 则,又 易得,则为二面角的平面角，‎ 因, =,所以,‎ 所以 过交点作,垂足为,连 则为二面角的平面角， ‎ 又 得 所以 ‎ 另：建系用向量法相应给分。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎23．【2017江西4月质检】如图，四棱锥中，侧面底面， ， ， , ， ，点在棱上，且，点在棱上，且平面.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：连接交于点，根据三角形相识，可得， ，由勾股定理可得是直角三角形，进而得，再由面面垂直判定定理可得结论；（2）以， ， 所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）因为， ，所以，有，如图，以， ， 所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则， ， ，‎ ‎，所以，‎ 所以 ，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ ‎，令，则，所以，‎ 又因为平面的法向量，‎ 所以，‎ 即所求二面角的余弦值是.‎ ‎24．【2017福建4月质检】如图，三棱柱中， ， ， 分别为棱的中点.‎ ‎（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.‎ ‎（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.‎ ‎（2）连结，∵，∴为正三角形.‎ ‎∵为的中点，∴，‎ 又∵侧面侧面，且面面，‎ 平面，∴平面，‎ 在平面内过点作交于点，‎ 分别以的方向为轴， 轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则， .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵为的中点，∴点的坐标为，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 由得，‎ 令，得，所以平面的一个法向量为.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ 点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性.‎ ‎25．【2017四川宜宾二诊】如甲图所示，在矩形中， ， ， 是的中点，将沿折起到位置，使平面平面，得到乙图所示的四棱锥．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）如下图，取中点，连，在中， ， ，又平面平面， 平面， 平面， ，即．在中，易得， ， ，‎ ‎，又，‎ 平面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）由题意，取中点，以为坐标原点，分别以， 为轴正方向建立间直角坐标系如图所示，则，由（Ⅰ）知： 是平面的法向量，设平面的法向量为，则 ‎，令，则， ，‎ ‎，设二面角的平面角为，‎ 则 ，‎ 由图可知，二面角的平面角为钝角，‎ ‎，即：二面角的余弦值为 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费