南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com 江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试 数学试题 第Ⅰ卷（共70分） ‎ 一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）‎ ‎1.设复数为虚数单位），若，则的值是 ．‎ ‎2.已知集合，则 ．‎ ‎3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是 ．‎ ‎4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是 ．‎ ‎5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中大一年级抽取人，大二年级抽取人.若其他年级共有学生人，则该校学生总人数是 ．‎ ‎6.设等差数列的前项和为，若公差，则的值是 ．‎ ‎7.在锐角中，，若的面积为，则的长是 ．‎ ‎8.在平面直角坐标系中，若双曲线经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是 ．‎ ‎9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的扇形，则这个圆锥的高为 ．‎ ‎10.若直线为曲线的一条切线，则实数的值是 ．‎ ‎11.若正实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎12.如图，在直角梯形中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是 ．‎ ‎13. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上一动点，则的最大值是 ．‎ ‎14.已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是 ．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若角满足，求角值.‎ ‎16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面.‎ ‎17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且经过点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的弦过点，且与轴不垂直.若为轴上的一点，，求的值.‎ ‎18. 如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百米.为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路,且,均与半圆相切，四边形是等腰梯形，设百米，记修建每百米参观线路的费用为万元，经测算.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎（1）用表示线段的长；‎ ‎（2）求修建参观线路的最低费用.‎ ‎19. 已知是公差为的等差数列， 是公比为的等比数列，，正整数组.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若数组中的三个数构成公差大于的等差数列，且，求的最大值.‎ ‎（3）若，试写出满足条件的一个数组和对应的通项公式.(注：本小问不必写出解答过程)‎ ‎20. 已知函数），记的导函数为.‎ ‎（1） 证明：当时，在上的单调函数；‎ ‎（2）若在处取得极小值，求的取值范围；‎ ‎（3）设函数的定义域为，区间.若在上是单调函数，则称在上广义单调.试证明函数在上广义单调.‎ ‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎21. 【选做题】 本题包括A、B、C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A. 选修4-1：几何证明选讲 如图，已知为圆的一条弦，点为弧的中点，过点任作两条弦分别交于点.‎ 求证：.‎ B. 选修4-2：距阵与变换 已知矩阵，点在对应的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.‎ C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在坐标系中，圆的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆的极坐标方程.‎ D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲 已知是正实数，且，求证：.‎ ‎【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）求二面角的余弦值；‎ ‎（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.‎ ‎23. 已知函数，设为的导数，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）猜想的表达式，并证明你的结论.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学 试题参考答案 一、填空题:‎ ‎1． 2. 3. 4. 5. 6. ‎7. 8. 9. 10. 11. 12： ‎13. 14. 二、解答题: ‎ ‎15. 解：(1)由条件，周期，即，所以，即.因为的图象经过点，所以.‎ ‎(2)由，得，即 ，即.因为或.‎ ‎16. 解：(1)因为分别为棱的中点，所以，又因为底面是矩形，所以.又平面平面，所以平面.‎ ‎(2)因为为的中点，所以.因为平面平面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以.因为平面平面.‎ ‎17. 解：(1)由题意，知.又，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为.①若时，.‎ ‎ ②若时，的中点为，代入椭圆方程，整理得，所以，‎ 所以的垂直平分线方程为.因为，所以点为的垂直平分线与轴的交点，所以，因为椭圆的左准线的方程为，离心率为，由，得，同理，所以，综上，得的值为.‎ ‎18. 解：设与半圆相切于点，则由四边形是等腰梯形知，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)设圆切于，连结过点作，垂足为.因为，所以.‎ 由.‎ ‎ (2) 设修建该参观线路的费用为万元. ①当，由 ，则在上单调递减，所以当时，取得最小值为. ②当时，‎ ，所以，‎ ，且当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值为. 由 ①②知，取得最小值为.‎ 答：（1）的长为百米；（2）修建该参观线路的最低费用为万元.‎ ‎19. 解：(1)由条件，知，即 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ，‎ .‎ ‎(2)由，即，所以，同理可得，‎ ，因为成等差数列，所以.记，则有，，故，即.记，则为奇函数，又公差大于，所以，即，当时，取最大值为.‎ ‎(3)满足题意的数组，此时通项公式为.‎ 例如：.‎ ‎20. 解：(1)当时，，即，在上单调递增.‎ ‎(2). ①当时，，所以函数在上单调递增.若，则；若，则，所以函数的单调增区间是，单调减区间是，所以在处取得极小值，符合题意.②当时，，所以函数在上单调递减.若，则；若，则，所以的单调减区间是，单调增区间是，所以在处取得极大值，不符合题意. ③当时，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ，使得，即，但当时，，即，所以函数在上单调递减，所以，即函数在单调递减，不符合题意.综上所述，的取值范围是.‎ ‎（3）记. ①若，注意到，则，即， 当时，.‎ 所以，函数在上单调递增.②若，当时，，所以，函数在上单调递减，综上所述，函数在区间上广义单调.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21. A. 解：‎ 连结，因为，又点为弧的中点，所以，又，所以，‎ 所以四点共圆.所以.‎ B. 解：由题意，，即，解得，所以矩阵 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 .所以矩阵的特征多项式为 ，令，得，所以的特征值为和.‎ C. 解：因为圆心在极轴上且过极点，所以设圆极坐标方程为，又因为点在圆上，所以，解得，所以圆极坐标方程为.‎ D. 解：因为是正实数，且，①‎ 同理，② ， ③ ，④‎ 将①②③④式相加并整理，即得.‎ ‎22. 解：‎ ‎(1)以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，由，得且，取，得，所以是平面的一个法向量.因为平面，取平面的一个法向量，设二面角的大小为，所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎(2)由（1）知，则.设，则 ，易知平面是平面的一个法向量.设与平面所成的角为，所以，即，得或（舍）.所以,所以线段的长为.‎ ‎23. 解：（1）.‎ ‎（2）猜想.证明：① 当时，由(1)知结论正确；‎ ‎ ②假设当时，结论正确，即有.当时，，所以当时结论成立，由①②得，对一切结论正确.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费