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2017 年杭州市中考数学总复习基题础训练 10
圆
1．如图，⊙O 的半径为 5，AB 为弦，半径 OC⊥AB，垂足为点 E，若 OE=3，则 AB 的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．已知点 A、B、C 是直径为 6cm 的⊙O 上的点，且 AB=3cm，AC=3 cm，则∠BAC 的度数为（ ）
A．15° B．75°或 15° C．105°或 15° D．75°或 105°
3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC 的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．如图，在⊙O 中，弦 AC 与半径 OB 平行，若∠BOC=50°，则∠B 的大小为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
5．如图，⊙A 经过点 E、B、C、O，且 C（0，8），E（﹣6，0），O（0，0）， 则 cos∠OBC 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=1：3：8，则∠D 的度数是（ ）
A．10° B．30° C．80° D．120°
7．如图，圆 O 的内接四边形 ABCD 中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD 的度数是
（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．如图△MBC 中，∠B=90°，∠C=60°，MB=2 ，点 A 在 MB 上，以 AB 为直径作⊙
O 与 MC 相切于点 D，则 CD 的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．
10．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC 的
大小为（ ）
A．23° B．57° C．67° D．77° 第 2 页（共 16 页）
11．如图，⊙O 的半径是 5，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P，若 CD=8，则△ACD 的面积是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
13．已知⊙O 的半径为 4，则垂直平分这条半径的弦长是（ ）
A． B． C．4 D．
14．如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若
PA=5，则△PCD 的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
15．AB 是⊙O 的弦，∠AOB=80°，则弦 AB 所对的圆周角是（ ）
A．40° B．140°或 40° C．20° D．20°或 160°
16．如图，⊙O 的半径为 1，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则
PQ 的最小值为 ．
17．如图，圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为 ．
18．如图，点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= （填度数）．
19．圆锥底面圆的半径为 3m，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 m．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是 BA 延长线上一点，点 D 在☉ O 上，且第 3 页（共 16 页）
CD=OA，CD 的延长线交⊙O 于点 E．若∠C=20°，则∠BOE 的度数是 ．
21．如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于 E，AC⊥PQ 于 C，交⊙O 于 D．
（1）求证：AE 平分∠BAC；
（2）若 AD=2，EC= ，∠BAC=60°，求⊙O 的半径．
22．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，AE⊥CD，垂足为 E，DA 平分∠BDE．
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若 AE=2，DE=1，求 CD 的长．
23．如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，联结 AO 并延长交⊙O 于点 E，联结 EC．已知 AB=8，CD=2．
（1）求 OA 的长度；
（2）求 CE 的长度．
24．如图，△ABC 内接于⊙O，AE 是⊙O 直径，AD 是高．求证：
（1）∠BAE=∠DAC；
（2）AE•AD=AB•AC．
25．如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，过 A、B、D 三点的⊙O 交 BC 于 E 且点 D 是弧 的中点．
（1）求证：AB 是⊙O 的直径； 第 4 页（共 16 页）
（2）若 AB=5，AC=6．求 AE 的长．
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答案与解析
1．【分析】连接 OA，根据勾股定理求出 AE 的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接 OA，
∵OC⊥AB，OA=5，OE=3，
∴AE= = =4，
∴AB=2AE=8．
故选 C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此
题的关键．
2．【分析】从弦 AB、AC 在直径 AD 的同旁和两旁两种情况进行计算，根据特殊角的三角函数值分别求出
∠BAD 和∠CAD 的度数，计算得到答案．
【解答】解：如图 1，∵AD 为直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在 Rt△ABD 中，AD=6，AB=3，
则∠BDA=30°，∠BAD=60°，
在 Rt△ABD 中，AD=6，AB=3 ，
∠CAD=45°，
则∠BAC=105°；
如图 2，，∵AD 为直径，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
在 Rt△ABD 中，AD=6，AB=3，
则∠BDA=30°，∠BAD=60°，
在 Rt△ABC 中，AD=6，AB=3 ，
∠CAD=45°，
则∠BAC=15°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的
三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
3． 【分析】由⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC=40°， 第 6 页（共 16 页）
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4．【分析】由弦 AC 与半径 OB 平行，若∠BOC=50°，可求得∠C 的度数，继而求得∠AOC 的度数，继而求
得∠AOB 的度数，然后由等腰三角形的性质，求得答案．
【解答】解：∵弦 AC∥OB，∠BOC=50°，
∴∠C=∠BOC=50°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=50°，
∴∠AOC=80°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=130°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°．
故选 A．
【点评】此题考查了圆周角定理、平行线的性质以及等腰三角形的性质．注意求得∠AOB 的度数是关键．
5．【分析】连接 EC，由∠COE=90°，根据圆周角定理可得：EC 是⊙A 的直径，由 C（0，8），E（﹣6，0），
O（0，0），可得 OC=8，OE=6，根据勾股定理可求 EC=10，然后由圆周角定理可得∠OBC=∠OEC，然后求
出 cos∠OEC 的值，即可得 cos∠OBC 的值．
【解答】解：连接 EC，∵∠COE=90°，
∴EC 是⊙A 的直径，
∵C（0，8），E（﹣6，0），O（0，0），
∴OC=8，OE=6，
由勾股定理得：EC=10，
∵∠OBC=∠OEC，
∴cos∠OBC=cos∠OEC= = ．
故选 A．
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是
解本题的关键．
6．【分析】题可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A、∠C 的度数，
进而求出∠B 和∠D 的度数，由此得解． 第 7 页（共 16 页）
【解答】解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形 ABCD 为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选 D．
【点评】本题需仔细分析题意，利用圆内接四边形的性质和四边形的内角和即可解决问题．
7．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由 BC=DC 得 = ，则∠BOC=∠COD=130°，再利用周角定义计算
出∠BOD=100°，再根据圆周角定理得到∠BCD= ∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD 的
度数．
【解答】解：连结 OD，如图，
∵BC=DC，
∴ = ，
∴∠BOC=∠COD=130°，
∴∠BOD=360°﹣2×130°=100°，
∴∠BCD= ∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°﹣∠BCD=180°﹣50°=130°．
故选 B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于
它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
8．【分析】在直角三角形 BCM 中，根据 60°的正切函数以及 MB 的长度，求出 BC 的长，然后根据 AB 为
直径且 AB 与 BC 垂直，得到 BC 为圆 O 的切线，又因为 CD 也为圆 O 的切线，根据切线长定理得到切线长
CD 与 BC 相等，即可得到 CD 的长．
【解答】解：在直角△BCM 中，
tan60°= = ，
得到 BC= =2， 第 8 页（共 16 页）
∵AB 为圆 O 的直径，且 AB⊥BC，
∴BC 为圆 O 的切线，又 CD 也为圆 O 的切线，
∴CD=BC=2．
故选 C．
【点评】此题考查学生灵活运用三角函数解直角三角形，掌握圆外一点引圆的两条切线，切线长相等的应
用，是一道中档题．
9．【分析】连接 OC，由圆周角定理得出∠BOC=2∠A=60°，由垂径定理得出 CE=DE= CD=3，再由三角函
数求出 OC 即可．
【解答】解：连接 OC，如图所示：
则∠BOC=2∠A=60°，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE= CD=3，
∵sin∠BOC= ，
∴OC= = =2 ．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及三角函数；熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出 CE 是
解决问题的关键．
10．【分析】由 AB 是⊙O 的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由
∠BAC=23°，即可求得∠B 的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得
∠ADC 的大小．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=23°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=67°，
∴∠ADC=∠B=67°．
故 C．
【点评】本题考查圆周角定理及直角三角形的性质．此题属容易题，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用． 第 9 页（共 16 页）
11．【分析】首先连接 OC，由 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，利用垂径定理可求得 CP 的长，然后由勾股
定理求得 OP 的长，继而求得 AP 的长，则可求得答案．
【解答】解：连接 OC，
∵弦 CD⊥AB，CD=8，
∴CP= CD=4，
∴OP= =3，
∴AP=OA+OP=8，
∴S△ACD= AP•CD= ×8×8=32．
故选 C．
【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
12．【分析】根据垂径定理求得 CE=ED= ，然后由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得
线段 OC、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入 S 阴影=S 扇形 OCB﹣S△COE+S△BED．
【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E，
∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，
∴CE=ED= ，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE•cot60°= × =1，OC=2OE=2，
∴S 阴影=S 扇形 OCB﹣S△COE+S△BED= ﹣ OE×EC+ BE•ED= ﹣ + = ．
故选 D．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关
键．
13．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：利用勾股定理可得，弦的一半= =2 ，根据垂径定理弦长=4 ．
故选 B．
【点评】本题主要利用勾股定理和垂径定理求值．
14．【分析】由切线长定理可得 PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD 的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD
的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】解：∵PA、PB 为圆的两条相交切线， 第 10 页（共 16 页）
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD 的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD 的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD 的周长=10，
故选 D．
【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．
15．【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，
从而得到答案．
【解答】解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB=180°﹣∠ACB=180°﹣40°=140°；
所以弦 AB 所对的圆周角是 40°或 140°．
故选 B．
【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．
16．【分析】因为 PQ 为切线，所以△OPQ 是 Rt△．又 OQ 为定值，所以当 OP 最小时，PQ 最小．根据垂
线段最短，知 OP=3 时 PQ 最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ 切⊙O 于点 Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而 OQ=1，
∴PQ2=OP2﹣1，即 PQ= ，
当 OP 最小时，PQ 最小，
∵点 O 到直线 l 的距离为 3，
∴OP 的最小值为 3，
∴PQ 的最小值为 =2 ．
故答案为 2 ．
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定 PQ 最小时点 P 的位置是解题的关
键，难度中等偏上． 第 11 页（共 16 页）
17．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，根据垂径定理得
CE=DE，且可判断△OCE 为等腰直角三角形，所以 CE= OC=2 ，然后利用 CD=2CE 进行计算．
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，
∴CE=DE，△OCE 为等腰直角三角形，
∴CE= OC=2 ，
∴CD=2CE=4 ．
故答案为 4 ．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直
角三角形的性质和圆周角定理．
18．【分析】运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB 的度数，再根据点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，得
出∠OBC+∠OCB=50°，从而得出答案．
【解答】解：∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，
∵点 O 是△ABC 的内切圆的圆心，
∴BO，CO 分别为∠ABC，∠BCA 的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
∴∠BOC=130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠
OBC+∠OCB 的度数是解此题的关键．
19．【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．
【解答】解：设母线长为 x，根据题意得
2πx÷2=2π×3，
解得 x=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．
20．【分析】连接 OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求
解． 第 12 页（共 16 页）
【解答】解：连接 OD，
∵CD=OA=OD，∠C=20°，
∴∠ODE=2∠C=40°，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=40°，
∴∠EOB=∠C+∠E=40°+20°=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题．
21．【分析】（1）连接 OE，根据切线的性质就可以得出 OE⊥PQ，就可以得出 OE∥AC，可以得出∠BAE=
∠CAE 而得出结论；
（2）连接 BE，由 AE 平分∠BAC 就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出 AE=2 ，在 Rt△ABE 中由勾
股定理可以求出 AB 的值，从而求出结论．
【解答】（1）证明：连接 OE，
∴OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE．
∵PQ 切⊙O 于 E，
∴OE⊥PQ．
∵AC⊥PQ，
∴OE∥AC．
∴∠OEA=∠EAC，
∴∠OAE=∠EAC，
∴AE 平分∠BAC．
（2）解：连接 BE，
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90°．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAE=∠EAC=30°．
∴AB=2BE．
∵AC⊥PQ，
∴∠ACE=90°， 第 13 页（共 16 页）
∴AE=2CE．
∵CE= ，
∴AE=2 ．
设 BE=x，则 AB=2x，由勾股定理，得
x2+12=4x2，
解得：x=2．
∴AB=4，
∴⊙O 的半径为 2．
【点评】本题考查了角平分线的判定及性质的运用，切线的性质的运用，30 度角的直角三角形的性质的运
用，平行线的判定及性质的运用，解答时合理运用切线的性质是关键．
22．【分析】（1）连接 OA，证明 OA⊥AE 即可．因为 AE⊥CD，所以需证 OA∥CE．根据角平分线定义和等
腰三角形性质可证∠OAD=∠ODA=∠ADE 可证；
（2）通过证明 Rt△BAD∽Rt△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O 半径的长．．
【解答】（1）证明：连接 OA．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA 平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA．
∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°．
∴OA⊥AE，
∴AE 是⊙O 的切线．
（2）解：在直角△ADE 中，AD= = cm．
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，
∴Rt△BAD∽Rt△AED．
∴ = = ． 第 14 页（共 16 页）
∴BD= =5cm，AB= =2 cm，
由切割线定理得：AE2=ED•EC，
∴EC=4，
∴CD=3．
【点评】本题考查切线的判定．已知直线经过圆上一点，证直线是圆的切线，需连接圆心和该点，证明直
线与连线垂直．
23．【分析】（1）根据垂径定理得出 =4，根据勾股定理得出方程，求出即可；
（2）连接 BE，求出 OC∥BE 且 ，求出 BE，根据勾股定理求出 CE 即可．
【解答】（1）解：∵在⊙O 中，OD⊥弦 AB，
∴ ，
∵AB=8，
∴AC=BC=4，
设 OA 为 x，则 OD=OA=x，
∵CD=2，
∴OC=x﹣2
在 Rt△ACO 中，AC2+OC2=AO2
∴42+（x﹣2）2=x2，
解得 x=5，
∴OA=5；
（2）解：连接 BE，
∵OA=OE，AC=BC，
∴OC∥BE 且 ，
∴∠EBA=∠OCA=90°，
∵OC=OD﹣CD=5﹣2=3，
∴BE=6，
在 Rt△ECB 中，BC2+EB2=EC2
∴42+62=EC2，
∴ ．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，题目比较第 15 页（共 16 页）
典型，难度适中．
24．【分析】（1）连接 BE，则可知∠BAE+∠E=∠CAC+∠C，且∠E=∠C，可得结论；
（2）结合（1）的结论可证明△ABE∽△ADC，可得 = ，则有 AE•AD=AB•AC．
【解答】证明：（1）连接 BE，如图，
∵AE 为直径，AD 是高
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∴∠BAE+∠E=∠DAC+∠C，
又∵∠E=∠C（同弧所对的圆周角），
∴∠BAE=∠DAC；
（2）由（1）可知∠BAE=∠DAC，且∠ABE=∠ADC=90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴ = ，
则有 AE•AD=AB•AC．
【点评】本题主要考查圆周角定理及相似三角形的判定和性质，在复杂图形中能找到同弧所对的圆周角是
解题的关键．
25．【分析】（1）根据圆周角定理，由点 D 是弧 的中点得到∠ABD=∠CAD，根据等腰三角形判定方法可
得△ABC 为等腰三角形，则 BD⊥AC，然后根据圆周角定理即可得到 AB 为⊙O 的直径；
（2）在 Rt△ADB 中利用勾股定理计算出 BD=4，再利用△ABC 为等腰三角形得到 BC=BA=5，根据圆周角定
理得到∠AEB=90°，然后利用面积法可计算出 AE 的长．
【解答】（1）证明：∵点 D 是弧 的中点，
∴ = ，
∴∠ABD=∠CAD，
∵D 是 AC 的中点，
∴△ABC 为等腰三角形，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴AB 为⊙O 的直径；
（2）解：∵AC=6，
∴AD=3， 第 16 页（共 16 页）
在 Rt△ADB 中，∵AB=5，AD=3，
∴BD= =4，
∵△ABC 为等腰三角形，
∴BC=BA=5，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴ AE•BC= BD•AC，
∴AE= = ．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆心
角、弧、弦的关系和勾股定理．
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