2017年杭州市中考总复习基题础训练(12)相似三角形(PDF版).pdf

第 1 页（共 13 页）    2017 年杭州市中考数学总复习基题础训练 12  相似三角形  1．如图，在△ABC 中，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．若 AD=1，DB=2，则△ADE 的 面积与△ABC 的面积的比等于（ ）  A．  B．  C．  D．   2．小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度 应为（ ）  A．45 米 B．40 米 C．90 米 D．80 米  3．已知 = ，那么 的值为（ ）  A．  B．  C．  D．   4．已知线段 a、b、c，其中 c 是 a、b 的比例中项，若 a=9cm，b=4cm，则线段 c 长（ ）  A．18cm B．5cm  C．6cm  D．±6cm  5．在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，下列条件中不能判定 DE∥BC 的是（ ）  A． =  B． =  C． =  D． =   6．如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）  A．  B．  C．  D．   7．如图，已知 D、E 分别是△ABC 的 AB、AC 边上的点，DE∥BC，且 S 四边形 DBCE=8S△ADE．  那 么 AE：AC 的值为（ ）  A．1：8  B．1：4  C．1：3  D．1：9  8．如图，直线 l1∥l2∥l3，若 AB=3，BC=4，则 的值是（ ）  A．  B．  C．  D．   9．如图，△ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC= ∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC 和△ACB 相似的条件是（ ）  A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③   第 2 页（共 13 页）    10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，如果 AC=3，AB=6，那 么 AD 的值为（ ）  A．  B．  C．  D．3   11．已知线段 AB=4，点 P 是它的黄金分割点，AP＞PB，则 PB=（ ）  A．  B．  C．2 ﹣4  D．6﹣2   12．已知 A，B 两地的实际距离 AB=5km，画在图上的距离为 CD=2cm，则该图的比例尺为（ ）  A．2：5  B．1：250000  C．250000：1  D．1：2500  13．在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，且 AE=2ED，EC 交对角线 BD 于点 F，则 等于（ ）  A．  B．  C．  D．   14．如图，已知 D 为△ABC 边 AB 上一点，AD=2BD，DE∥BC 交 AC 于 E，AE=6，则 EC=（ ）  A．1  B．2  C．3  D．4  15．如图，一张矩形纸片 ABCD 的长 AB=a，宽 BC=b．将纸片对折，折痕为 EF，所得矩 形 AFED 与矩形 ABCD 相似，则 a：b=（ ）  A．2：1  B． ：1  C．3：  D．3：2  16．已知：x：y=2：3，则（x+y）：y= ．  17．两个相似三角形的相似比为 2：3，则它们的面积之比为 ．  18．如图，在△ABC 中，AB=9，AC=6，点 D 在 AB 上，且∠ACD=∠B，则 AD= ．    19．如图，点 E 为ABCD 中 AD 边上一点，且 AE= DE，AC 与 BE 相交于点 F，则 = ．    20．两个相似比为 1：4 的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ．  21．如图，在矩形 ABCD 中，AD=5，AB=4，E 是 BC 上的一点，BE=3，DF⊥AE，垂足为 F， 则 tan∠FDC= ．  22．在平面直角坐标系中，点 A（2，3）， B（5，﹣2）， 以 原 点 O 为位似中心，位似比为 1： 2，把△ABO 缩小，则点 B 的对应点 B′的坐标是 ．  23．如图，在三角形 ABC 中，AB=24，AC=18，D 是 AC 上一点 AD=12，在 AB 上取一点 E，使 A、D、E 三点组成的三角形与 ABC 相似，则 AE= ． 第 3 页（共 13 页）    24．  已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=50，BC=64，连结 BD，AE⊥BD 垂足为 E，  （1）求证：△ABE∽△DCB；  （2）求线段 DC 的长．    25．如图所示，△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 CE=BD，BE、AD 相交于点 F．求证：  （1）△ABD≌△BCE；  （2）△AEF∽△ABE．        26．如图所示，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC 延长线上一点，过点 A 作 AF∥BC 交 ED 的延长 线于点 F，连接 AE，CF．  求证：（1）四边形 AFCE 是平行四边形；  （2）FG•BE=CE•AE．      27．在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=12，E 为 DC 的中点，连接 BE，作 AF⊥BE，垂足为 F．   （1）求证：△BEC∽△ABF；  （2）求 AF 的长．     第 4 页（共 13 页）    参考答案与试题解析  1【分析】根据 DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即 可求解．  【解答】解：∵AD=1，DB=2，  ∴AB=AD+DB=3，  ∵DE∥BC，  ∴△ADE∽△ABC，  ∴ =（ ）2=（ ）2= ．  故选：D．  【点评】本题考查了三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关 键．  2．【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．  【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，  ∴1.5：2=教学大楼的高度：60，  解得教学大楼的高度为 45 米．  故选 A．  【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．  3．【分析】根据 = ，可设 a=2k，则 b=3k，代入所求的式子即可求解．  【解答】解：∵ = ，  ∴设 a=2k，则 b=3k，  则原式= = ．  故选 B．  【点评】本题考查了比例的性质，根据 = ，正确设出未知数是本题的关键．  4．【分析】由 c 是 a、b 的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段 c 的长，注意线段 不能为负．  【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．  所以 c2=4×9，解得 c=±6（线段是正数，负值舍去），  故选 C． 第 5 页（共 13 页）    【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．  5．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．  【解答】解：∵ = ，∴DE∥BC，选项 A 不符合题意；  ∵ = ，∴DE∥BC，选项 B 不符合题意；  ∵ = ，∴DE∥BC，选项 C 不符合题意；  = ，DE∥BC 不一定成立，选项 D 符合题意．  故选：D．  【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边  6．【分析】设小正方形的边长为 1，根据已知可求出△ABC 三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从 而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．  【解答】解：∵小正方形的边长均为 1  ∴△ABC 三边分别为 2， ，   同理：A 中各边的长分别为： ，3， ；  B 中各边长分别为： ，1， ；  C 中各边长分别为：1、2 ， ；  D 中各边长分别为：2， ， ；  ∵只有 B 项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为   故选 B．  【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．  7．【分析】由 DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得 ，又由 S 四边形 DBCE=8S△ADE，即可求得 S△ADE：S△ABC=1：9，则可求得 AE：AC 的值．  【解答】解：∵S 四边形 DBCE=8S△ADE，  ∴S△ABC=9S△ADE，  ∴S△ADE：S△ABC=1：9，  ∵DE∥BC，  ∴△ADE∽△ABC， 第 6 页（共 13 页）    ∴ = ，  ∴AE：AC=1：3．  故选 C．  【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等 于相似比的平方定理的应用．  8．【分析】利用平行线分线段成比例可得 = ，且 AC=AB+BC=7，代入可求得 ．  【解答】解：∵l1∥l2∥l3，  ∴ = ，  且 AC=AB+BC=7，  ∴ = ，  故选 B．  【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例，注意线段的 对应．  9．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹 角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．  【解答】解：当∠ACP=∠B，  ∠A 公共，  所以△APC∽△ACB；  当∠APC=∠ACB，  ∠A 公共，  所以△APC∽△ACB；  当 AC2=AP•AB，  即 AC：AB=AP：AC，  ∠A 公共，  所以△APC∽△ACB；  当 AB•CP=AP•CB，即 = ，  而∠PAC=∠CAB，  所以不能判断△APC 和△ACB 相似． 第 7 页（共 13 页）    故选 D．  【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组 角对应相等的两个三角形相似．  10．【分析】根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段 AD 的长度．  【解答】解：如图，∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，  ∴AC2=AD•AB，  又∵AC=3，AB=6，  ∴32=6AD，则 AD= ．  故选：A．  【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．  11．【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比 例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比，分别进行计算即可．  【解答】解：∵点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，  ∴PB=4× =6﹣2 ；  故选 D．  【点评】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的线段=原线段 的 是本题的关键．  12．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接计算即可．  【解答】解：根据比例尺=图上距离：实际距离．  5km=500000cm，得比例尺=2：500000=1：250000，  故选 B．  【点评】理解比例尺的概念，注意单位要统一．  13．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么 = ；由 AE：ED=2：1 可设 ED=k，得到 AE=2k， BC=3k；得到 = ，即可解决问题．  【解答】解：如图，∵四边形 ABCD 为平行四边形，  ∴ED∥BC，BC=AD，  ∴△DEF∽△BCF， 第 8 页（共 13 页）    ∴ = ，  设 ED=k，则 AE=2k，BC=3k；  ∴ = = ，  故选 A．  【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出 △DEF∽△BCF 是解题的关键．  14．【分析】根据平行线分线段成比例得到 = ，即 = ，然后利用比例性质计算 EC 的长．  【解答】解：∵DE∥BC，  ∴ = ，即 = ，  ∴EC=3．  故选 C．  【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．  15．【分析】根据折叠性质得到 AF= AB= a，再根据相似多边形的性质得到 = ，即 = ，然后 利用比例的性质计算即可．  【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为 EF，  ∴AF= AB= a，  ∵矩形 AFED 与矩形 ABCD 相似，  ∴ = ，即 = ，  ∴（ ）2=2，  ∴ = ．  故选 B．  【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等， 对应边的比相等．  16．【分析】根据比例的性质，把 写成 +1 的形式，然后代入已知数据进行计算即可得解．  【解答】解：∵ = ， 第 9 页（共 13 页）    ∴ = +1= +1= ．  故答案为： ．  【点评】本题考查了比例的性质，把 写成 +1 的形式是解题的关键，也是本题的难点．  17．【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．  【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3，  ∴它们的面积之比为 4：9．  故答案为：4：9  【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方．  18．【分析】根据∠ACD=∠B，∠A=∠A，从而可证明△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出 AD 的值．  【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，  ∴△ACD∽△ABC，  ∴ ，  ∵AB=9，AC=6，  ∴AD=4  故答案为：4  【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是证明△ACD∽△ABC，本题属于基础题型．  19．【分析】据 ED=2AE，求出 AE：AD 即 AE：BC 的值是 1：3，再根据相似三角形对应边成比例，求出 AF 与 FC 的比．  【解答】解：∵ED=2AE，  ∴AE：ED=1：2，  ∴AE：AD=1：3，  在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，AD∥BC，  ∴△AEF∽△CBF，  ∴AF：FC=AE：BC=1：3，  故答案为： ．  【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质的运用，比例式的变形是解题的关键．  20．【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可．  【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 1：4， 第 10 页（共 13 页）    ∴这两个相似三角形的一组对应边上的中线比为 1：4，  故答案为：1：4．  【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的 比都等于相似比是解题的关键．  21．【分析】首先根据矩形的性质以及垂线的性质得出∠FDC=∠ABE，进而得出 tan∠FDC=tan∠AEB= ， 即可得出答案．  【解答】解：∵DF⊥AE，垂足为 F，  ∴∠AFD=90°，  ∵∠ADF+∠DAF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，  ∴∠DAF=∠CDF，  ∵∠DAF=∠AEB，  ∴∠FDC=∠ABE，  ∴tan∠FDC=tan∠AEB= ，  ∵在矩形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 上的一点，BE=3，  ∴tan∠FDC= ．  故答案为： ．  【点评】此题主要考查了锐角三角函数的关系以及矩形的性质，根据已知得出 tan∠FDC=tan∠AEB 是解题 关键．  22．【分析】由以原点 O 为位似中心，位似比为 1：2，把△ABO 缩小，直接利用位似图形的性质求解即 可求得答案．  【解答】解：∵以原点 O 为位似中心，位似比为 1：2，把△ABO 缩小，B（5，﹣2），  ∴点 B 的对应点 B′的坐标是：（ ，﹣1）或（﹣ ，1）．  故答案为：（ ，﹣1）或（﹣ ，1）．  【点评】此题考查了位似图形的性质．注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相 似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k．  23．【分析】因为对应边不明确，所以分①AD 与 AC 是对应边，②AD 与 AB 是对应边，根据相似三角形对 应边成比例列式求解即可．  【解答】解：①AD 与 AC 是对应边时， 第 11 页（共 13 页）    ∵AB=24，AC=18，AD=12，  ∴ = ，  即 = ，  解得 AE=16；  ②AD 与 AB 是对应边时，  ∵AB=24，AC=18，AD=12，  ∴ = ，  即 = ，  解得 AE=9，  ∴AE=16 或 9．  故答案为：16 或 9．  【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，根据对应边不明确，注意分情况讨论求解．  24．【分析】（1）由 AD∥BC 得出∠ADB=∠DBC，再由 AB=AD 得出∠ADB=∠ABD，从而∠ABD=∠DBC，另 外 AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，结论显然；  （2）作 AF⊥BC 于 F，则 AF=CD，FC=AD，算出 BF，从而由勾股定理算出 AF．  【解答】解：（1）证明：  ∵AD∥BC，  ∴∠ADB=∠DBC，  ∵AB=AD，  ∴∠ADB=∠ABD，  ∴∠ABD=∠DBC，  ∵AE⊥BD，  ∴∠AEB=∠C=90°，  ∴△ABE∽△DCB；  （2）作 AF⊥BC 于 F，如图，  ∵AD∥BC，∠C=90°，  ∴AFCD 是矩形，  ∴FC=AD=50，AF=CD，  ∴BF=BC﹣FC=64﹣50=14， 第 12 页（共 13 页）    ∴AF= =48，  ∴DC=48．  【点评】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性 质、勾股定理等知识点，属于基础题．熟练掌握基本几何图形和相关定理是解答关键．  25．【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB=BC，∠ABD=∠C=60°，继而根 据 SAS 即可证得△ABD≌△BCE；  （2）由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD=∠CBE，进一步得到∠EAF=∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角 形相似，即可得△AEF∽△ABE．  【解答】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，  ∴AB=BC，∠ABD=∠C=∠BAC=60°，  在△ABD 和△BCE 中，  ，  ∴△ABD≌△BCE（SAS）；  （2）∵△ABD≌△BCE，  ∴∠BAD=∠CBE，  ∴∠EAF=∠ABE，  ∵∠AEF=∠BEA，  ∴△AEF∽△ABE．  【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是 注意数形结合思想的应用，注意有两角对应相等的三角形相似定理的应用．  26．【分析】（1）根据已知首先证明△ADF≌△EDC，再利用 AF=CE，AF∥BC 得出即可；  （2）利用已知得出△AFG∽△BEA，进而得出比例式，再利用平行四边形的性质求出即可．  【解答】（1）证明：∵AF∥BC，  ∴∠AFD=∠DEC，  ∵∠FDA=∠CDE，D 是 AC 的中点，  ∴△ADF≌△EDC，  ∴AF=CE，  ∵AF∥BC，  ∴四边形 AFCE 是平行四边形； 第 13 页（共 13 页）      （2）证明：∵四边形 AFCE 是平行四边形，  ∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，  ∵AF∥BC，  ∴∠FAB=∠ABE，  ∴△AFG∽△BEA，  ∴ ，  ∴FG•BE=AF•AE，  ∴FG•BE=CE•AE．  【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式 需证明△AFG∽△BEA 是解决问题的关键．  27．【分析】（1）由矩形 ABCD 中，AB=10，BC=12，E 为 DC 的中点，由勾股定理可求得 BE 的长，又由 AF ⊥BE，易证得△ABF∽△BEC，  （2）然后由相似三角形的对应边成比例，求得 AF 的长  【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，  ∴CD=AB=10，∠ABC=∠C=90°，  ∴∠ABF+∠CBE=90°，  ∵E 为 DC 的中点，  ∴EC= CD=5，∴BE=13，  ∵AF⊥BE，∴∠AFB=90°，  ∴∠ABF+∠BAF=90°，  ∴∠BAF=∠CBE，∠AFB=∠C=90°，  ∴△ABF∽△BEC；  （2）∵△ABF∽△BEC，  ∴AB：BE=AF：BC，  ∴10：13=AF：12，  解得：AF= ．  【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形 结合思想的应用．