2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（ ）
A．{x|x＞4} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}
2．复数的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i
3．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（ ）
A．A=4 B．ω=1 C．φ= D．B=4
4．平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）
A． B． C． D．
6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4+4π B．4+3π C．3+4π D．3+3π
7．抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（﹣1）=320且，则的值为（ ）
A．240 B．260 C．320 D．﹣320
9．3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：sin15°=0.259）（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
10．已知函数f（x）=，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）
11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．已知函数g（x）=x3+2x﹣m+（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（2，﹣3） C．（0，0） D．（0，3）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13．已知向量，则= ．
14．若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为 ．
15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= ．
16．某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是 ．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知正项等比数列{bn}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若cn=，求数列{cn}的前n项和Sn．
18．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
19．如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．
（1）求证：FD∥平面AHC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．
20．已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex（其中e是自然数对数的底数）．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；
（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．
21．已知椭圆C1： +=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程．
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．
[选修4-5不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（ ）
A．{x|x＞4} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4＞0，即M={x|x＞4或x＜﹣1}，
N={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，
则M∩N={x|x＞4}，
故选：A．
2．复数的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】解： =，
则复数的共轭复数是：﹣2i．
故选：D．
3．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（ ）
A．A=4 B．ω=1 C．φ= D．B=4
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．
【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2
函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2
当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+
φ=2kπ﹣
∵
∴φ=
故选C．
4．平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．
【解答】解：∵截面圆的面积为π，
∴截面圆的半径是1，
∵球O半径为2，
∴球心到截面的距离为．
故选：A
5．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2
直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为，
故选D
6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4+4π B．4+3π C．3+4π D．3+3π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，由此能求出该几何体的表面积．
【解答】解：由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，
其表面积为S1==π，
下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，
其表面积为S2==4+3π，
∴该几何体的表面积S=S1+S2=4+4π．
故选：A．
7．抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，由直线bx+ay=1的斜率，得到，利用列举法求出满足题意的（a，b）可能的取值，由此能求出直线bx+ay=1的斜率的概率．
【解答】解：抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，
基本事件总数n=6×6=36，
∵直线bx+ay=1的斜率，∴，
满足题意的（a，b）可能的取值有：
（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6种，
∴直线bx+ay=1的斜率的概率p==．
故选：B．
8．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（﹣1）=320且，则的值为（ ）
A．240 B．260 C．320 D．﹣320
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】把cosx﹣sinx提取，利用两角和的余弦函数公式的逆运算化为一个角的余弦函数，即可求得cos（x+）的值，然后利用诱导公式求出sin2x的值，进而求得等于f（7），根据f（x）的图象关于直线x=3对称，得到f（3+x）=f（3﹣x），即可推出f（7）=f（﹣1）可求出值．
【解答】解：∵，∴cos（x+）=，得cos（x+）=，
又∵sin2x=﹣cos（+2x）=1﹣2cos2（x+）=
∴=f（7）
由题意y=f（x）关于直线x=3对称
∴f（3+x）=y=f（3﹣x）
即f（7）=f（3+4）=f（3﹣4）=f（﹣1）=320，
故选C．
9．3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：sin15°=0.259）（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第1次执行循环体后，S=3cos30°=＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=6，
第2次执行循环体后，S=6cos60°==3＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=12，
第3次执行循环体后，S=12sin15°≈3.106＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=24，
第4次执行循环体后，S=24sin7.5°≈3.144＞3.14，满足退出循环的条件，
故输出的n值为24，
故选：C．
10．已知函数f（x）=，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用换元法设f（x）=t，则方程等价为f（t）=0，根据指数函数和对数函数图象和性质求出t=1，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：令f（x）=t，则方程f[f（x）]=0等价为f（t）=0，
由选项知a≠0，
当a＞0时，当x≤0，f（x）=a•2x＞0，
当x＞0时，由f（x）=log2x=0得x=1，
即t=1，作出f（x）的图象如图：
若a＜0，则t=1与y=f（x）只有一个交点，恒满足条件，
若a＞0，要使t=1与y=f（x）只有一个交点，
则只需要当x≤0，t=1与f（x）=a•2x，没有交点，
即此时f（x）=a•2x＜1，
即f（0）＜1，
即a•20＜1，
解得0＜a＜1，
综上0＜a＜1或a＜0，
即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），
故选：B．
11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（m， m），再由两直线垂直和平行的条件，得到m，a，b的关系式，消去m，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣a，0）、B（a，0），
渐近线分别为l1：y=x，l2：y=﹣x．
设P（m， m），若PA⊥l2，PB∥l2，
则=﹣1①，且=﹣，②
由②可得m=，
代入①可得b2=3a2，
即有c2﹣a2=3a2，即c=2a，
则有e==2．
故选B．
12．已知函数g（x）=x3+2x﹣m+（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（2，﹣3） C．（0，0） D．（0，3）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；定积分．
【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：由g（x）=x3+2x﹣m+，得g′（x）=x2+2﹣．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．
设x2=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．
设y=t+2﹣，t∈[1，+∞），
∵y′=1+＞0，
∴函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此ymin=3﹣m．
∵ymin≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3．又m＞0，故0＜m≤3．m的最大值为3．
故得g（x）=x3+2x﹣3+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
将函数g（x）的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ（x）=x3+2x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
由于φ（﹣x）=﹣φ（x），
∴φ（x）为奇函数，
故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，﹣3）成中心对称．
这表明存在点Q（0，﹣3），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故选：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13．已知向量，则= 2 ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用向量的坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．
【解答】解：﹣2=（﹣1，3），
∴=﹣1+3=2．
故答案为：2．
14．若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为 4 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可．
【解答】解：变量x，y满足表示的可行域如图：
则点P（x，y）表示的区域的面积为：．
故答案为：4．
15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin
Acos B=2cosAsinB，则c= 3 ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB，结合a2﹣b2=c，即可求c．
【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB得•=2••，
所以a2+c2﹣b2=2（b2+c2﹣a2），即a2﹣b2=，
又a2﹣b2=c，解得c=3．
故答案为：3．
16．某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是 丁 ．
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】通过推理判断出年龄以及学历情况，然后推出结果．
【解答】解：由题意可得，2人为硕士，3人为博士；
有3人小于30岁，2人大于30岁；
又甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，
可推得甲丙小于30岁，故甲丙不能应聘成功；
又乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，
以及2人为硕士，3人为博士，
可得乙戊为博士，故乙戊也不能应聘成功．
所以只有丁能应聘成功．
故答案为：丁．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知正项等比数列{bn}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5
=256，an=log2bn+2．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若cn=，求数列{cn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【分析】（1）通过b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，进而可得结论；
（2）通过对cn=分离分母，并项相加即可．
【解答】（1）证明：由题可知设数列首项b1＞0，
∵b3+b5=40，b3b5=256，
∴，
解得q=2或q=（舍），
又∵b3+b5=40，即=40，
∴b1===2，
∴bn=2×2（n﹣1）=2n，
∴an=log2bn+2=n+2，
∴数列{an}是以3为首项、1为公差的等差数列；
（2）解：∵cn==﹣，
∴Sn=﹣+﹣…+﹣=﹣=．
18．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法．
【分析】（1）通过频率分布表得推出m+n=0.45．利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m．
（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．
【解答】解：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1，
即 m+n=0.45．…
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得．…
所以m=0.45﹣0.1=0.35．…
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…
故所求概率为．…
19．如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．
（1）求证：FD∥平面AHC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四边形ABEF为菱形，可得AB∥EF，得到EF∥CD．结合H是EF的中点，AB=2CD，得CD=FH，可得四边形CDFH为平行四边形，从而得到DF∥CH．再由线面平行的判定可得FD∥平面AHC；
（2）由平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，可得DA⊥平面ABEF，结合已知可得四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，三棱锥F﹣ADC的高AH=．然后由VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC求得多面体ABCDEF的体积．
【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB∥CD，
∵四边形ABEF为菱形，∴AB∥EF，则EF∥CD．
∵H是EF的中点，AB=2CD，∴CD=FH，
∴四边形CDFH为平行四边形，则DF∥CH．
∵DF⊄平面AHC，HC⊂平面AHC，
∴FD∥平面AHC；
（2）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABEF，
∵DC∥AB，∴四棱锥C﹣ABEF的高DA=2，
∵∠ABE=60°，四边形ABEF为边长是4的菱形，
∴可求三棱锥F﹣ADC的高AH=2．
∴VABCDEF=VC﹣ABEF+VF﹣ADC==．
20．已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex（其中e是自然数对数的底数）．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；
（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）先对函数求导，f′（x）=2x+a﹣，可得切线的斜率k=2x0+a﹣==，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，可证
（2）由F（x）==，求出函数F（x）的导数，通过研究2﹣a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求a的范围．
【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），
过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，
整理得x02+lnx0﹣1=0，
显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；
（2）F（x）==，F′（x）=，
设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，
易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；
①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．
所以，a≤2满足题意；
②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，
则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；
又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．
又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，
当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．
从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，
与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合①②得，a≤2．
21．已知椭圆C1： +=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【分析】（1）由椭圆的离心率e=，得到a2=4b2，再结合椭圆与双曲线有共同的交点及隐含条件解得a2，4b2，则椭圆的方程可求；
（2）由题意设出切线方程y=kx+m（k＜0），和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值；
（3）求出A，B的坐标，设出D，E，C的坐标，结合条件⊥，∥可得D，E，C的坐标的关系，把AC，
DE的方程都用D点的坐标表示，求解交点P的坐标，由坐标可得P为DE的中点．
【解答】（1）解：由e=，可得：，即，
∴，a2=4b2①
又∵c2=2b2+1，即a2﹣b2=2b2+1 ②
联立①②解得：a2=4，b2=1，
∴椭圆C1的方程为：；
（2）解：∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，
∴直线l的斜率必存在且为负，
设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），
联立，消去y整理可得：
③
根据题意可得方程③只有一实根，
∴△=，
整理可得：m2=4k2+1 ④
∵直线l与两坐标轴的交点分别为且k＜0，
∴l与坐标轴围成的三角形的面积⑤
④代入⑤可得：（当且仅当k=﹣时取等号）；
（3）证明：由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），
设D（x0，y0），∴E（x0，0），
∵，
∴可设C（2，y1），
∴，
由可得：（x0+2）y1=2y0，即，
∴直线AC的方程为：，整理得：，
点P在DE上，令x=x0代入直线AC的方程可得：，
即点P的坐标为，
∴P为DE的中点
∴PD=DE．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]
22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．
（1）求曲线C′的普通方程．
（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；
（2）设P（x，y），A（x0，y0），点A在曲线C′上，点B（3，0），点A在曲线C′上，列出方程组，即可求AB中点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为
∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1． …
（2）设P（x，y），A（x0，y0），又B（3，0），且AB中点为P
∴有：
又点A在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x﹣3）2+（2y）2=1
∴动点P的轨迹方程为（x﹣）2+y2=． …
[选修4-5不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，
解得a﹣3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
所以解得a=2．
（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．
设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是
所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；
当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；
当x＞2时，g（x）＞5．
综上可得，g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）+f（x+5）≥m
即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．
2017年5月16日
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