唐山市2016—2017学年高三年级第三次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则
A． B． C． D．
2、已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为
A． B． C． D．
3、总体由编号为的各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为
A． B． C． D．
4、已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为
A． B．或 C．2 D．
5、执行右侧的程序框图，若输出，则输入的为
A．或或1 B． C．或1 D．1
6、数列首项，对于任意，有，
则前5项和
A．121 B．25 C．31 D．35
7、某几何体的三视图如图所示，则其体积为
A．4 B．8 C． D．
8、函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为
9、若，则
A．1 B．513 C．512 D．511
10、函数在内的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
11、抛物线的焦点F，N为准线上一点，M为轴上一点，为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则的面积为
A． B． C． D．
12、已知函数有两个极值点，且，若，
函数 ，则
A．恰有一个零点 B．恰有两个零点 C．恰有三个零点 D．至多两个零点
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13、已知向量，则在方向上的投影为
14、直角顶的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积
为2，则该球的表面积为
15、已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，
则实数
16、数列的前n项和为，若，则
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在中，角所对应的边分别为．
（1）求证：；
（2）若为锐角，求的取值范围．
18、（本小题满分12分）
某学校简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟）进行调查，结果如下：
若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”
（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．
①求抽取的4为同学中有男同学又有女同学的概率；
②记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19、（本小题满分12分）
如图，在平行四边形中，分别为的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20、（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与圆相切于点M，且与椭圆相较于不同的两点，
求的最大值．
21、（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间有唯一的零点，证明．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程
点P是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点为中心，将点P逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于两点，定点，求的面积．
23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲
已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）当时，，求满足的的取值范围．
唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ABBDC DCADD CB B卷：ADBBC DDACD CB
二．填空题：
（13） （14）44π （15）－3 （16）
三．解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由a－b＝bcosC根据正弦定理得sinA－sinB＝sinBcosC，
即sin(B＋C)＝sinB＋sinBcosC，
sinBcosC＋cosBsinC＝sinB＋sinBcosC，
sinCcosB＝sinB，
得sinC＝tanB． …6分
（Ⅱ）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝b2＋4b－4＝(b＋2)2－8， …8分
由a－b＝bcosC知b＝＝ ，
由C为锐角，得0＜cosC＜1，所以1＜b＜2． …10分
从而有1＜c2＜8．
所以c的取值范围是(1，2)． …12分
（18）解：
（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x人，则＝，解得x＝320.
所以该校4000名学生中“读书迷”有320人． …3分
（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率
P＝＝． …6分
（ⅱ）X可取0，1，2，3．
P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， …10分
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． …12分
（19）解：
（Ⅰ）连接AE，因为AF⊥平面PED，EDÌ平面PED，所以AF⊥ED．
在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°，
所以AE＝2，ED＝2，
从而有AE2＋ED2＝AD2，
所以AE⊥ED． …3分
又因为AF∩AE＝A，
所以ED⊥平面PAE，PAÌ平面PAE，
从而有ED⊥PA．
又因为PA⊥AD，AD∩ED＝D，
所以PA⊥平面ABCD． …6分
A
F
P
B
E
C
D
x
y
z
（Ⅱ）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，2，0)，D(2，0，0)，B(－，1，0)．
因为AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，
又因为F为PE中点，所以PA＝AE＝2．
所以P(0，2，2)，F(0，1，1)，
＝(0，－1，1)，＝(2，－2，0)，
＝(，0，1)． …8分
设平面AFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由·n＝0，·n＝0得，
令x＝1，得n＝(1，，)． …10分
设直线BF与平面AFD所成的角为θ，则
sinθ＝|cosá，nñ|＝＝＝，
即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为． …12分
（20）解：
（Ⅰ）由已知可得＋＝1，＝，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆Γ的方程为＋y2＝1． …4分
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，由直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，
可知直线l的方程为x＝±1，易求|AB|＝． …5分
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2＝k2＋1， …6分
将y＝kx＋m代入＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， …8分
|AB|＝＝
＝＝4，
又因为m2＝k2＋1，
所以|AB|＝≤＝2，
当且仅当|k|＝，即k＝±时等号成立．
综上所述，|AB|的最大值为2． …12分
（21）解：
（Ⅰ）f¢(x)＝＋2ax＝，x＞－1．
令g(x)＝2ax2＋2ax＋1，Δ＝4a2－8a＝4a(a－2)．
若Δ＜0，即0＜a＜2，则g(x)＞0，
当x∈(－1，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．
若Δ＝0，即a＝2，则g(x)≥0，仅当x＝－时，等号成立，
当x∈(－1，＋∞)时，f¢(x)≥0，f(x)单调递增．
若Δ＞0，即a＞2，则g(x)有两个零点x1＝，x2＝．
由g(－1)＝g(0)＝1＞0，g(－)＜0得－1＜x1＜－＜x2＜0．
当x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f¢(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．
综上所述，
当0＜a≤2时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
当a＞2时，f(x)在(－1，)和(，＋∞)上单调递增，
在(，)上单调递减． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f(0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f(x1)＝0时，符合要求．
此时，x1就是函数f(x)在区间(－1，0)的唯一零点x0．
所以2ax＋2ax0＋1＝0，从而有a＝－．
又因为f(x0)＝ln(x0＋1)＋ax＝0，所以ln(x0＋1)－＝0．
令x0＋1＝t，则lnt－＝0．设h(t)＝lnt＋－，则h¢(t)＝．
再由（Ⅰ）知：0＜t＜，h¢(t)＜0，h(t)单调递减．又因为h(e－2)＝＞0，h(e－1)＝
＜0，
所以e－2＜t＜e－1，即e－2＜x0＋1＜e－1． …12分
（22）解：
（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
设Q(ρ，θ)，则P(ρ，θ－)，则有ρ＝4cos(θ－)＝4sinθ．
所以，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ． …5分
（Ⅱ）M到射线θ＝的距离为d＝2sin＝，
|AB|＝ρB－ρA＝4(sin－cos)＝2(－1)，
则S＝|AB|×d＝3－． …10分
（23）解：
（Ⅰ）f(x)＝|x＋2|＋|x－1|,所以f(x)表示数轴上的点x到－2和1的距离之和，
因为x＝－3或2时f(x)＝5，
依据绝对值的几何意义可得f(x)≤5的解集为{x|－3≤x≤2}． …5分
（Ⅱ）g(a)＝|＋2a|＋|－1|，
当a＜0时，g(a)＝－－2a＋1≥5，等号当且仅当a＝－1时成立，所以g(a)≤4无
解；
当0＜a≤1时，g(a)＝＋2a－1，
由g(a)≤4得2a2－5a＋2≤0，解得≤a≤2，又因为0＜a≤1，所以≤a≤1；
当a＞1时，g(a)＝2a＋1≤4，解得1＜a≤，
综上，a的取值范围是[，]． …10分
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