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揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题
数学(文科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数 (其中为虚数单位)的虚部与实部相等，则实数的值为
（A）1 （B） （C） （D）
（3）“为真”是“为真”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
图2
（4）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）图1是一个算法流程图，则输出的x值为
（A）95 （B）47 （C）23 （D）11
（6）某棱柱的三视图如图2示，则该棱柱的体积为
（A）3 （B）4 （C）6 （D）12
（7）已知等比数列满足，
则=
（A）1 （B） （C） （D）4
（8）已知，则
（A） （B） （C） （D）
（9）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
图3
图4
（10）已知实数满足不等式组，若 的最大值为3，则a的值为
（A）1 （B） （C）2 （D）
（11）中国古代数学家赵爽设计的弦图（图3）是由四个全等的直角三角形
拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图4所示的菱形，已知弦图中，
大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图4中菱形的一个锐
角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数，若对任意的、，都有，则实数的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）已知向量满足，则 .
（14）设为等差数列的前n项和，且，，则 .
（15）已知直线与圆相切，则的值为 .
（16）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这 个长方体体积的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)（本小题满分12分）
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知的面积为，BC的中点为D．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 若，，求AD的长．
1
2
3
4
5
0
过关数
1
2
3
频数
图5
(18)（本小题满分12分）
某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过关者奖励件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．
(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；
(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；
(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．
（19）（本小题满分12）
已知图6中，四边形 ABCD是等腰梯形，， ，于M、交EF于点N，，，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为、且使，如图7示．
图6
图7
A
B
D
C
F
E
A
B
C´
D´
E
F
M
M
N
(Ⅰ)证明：平面ABFE；,
(Ⅱ)若图6中， ，求点M到平面的距离．
（20）(本小题满分12分)
已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足．
（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（II）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．
(21)（本小题满分12分）
已知，曲线与曲线在公共点处的切线相同．
(Ⅰ)试求的值；
(Ⅱ)若恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
(22) (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知直线l1：（，），抛物线C：（t为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l1 和抛物线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l1 和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．
(23) (本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，证明：．
揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题
数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
C
B
C
B
C
C
A
A
C
解析：
(10) 如右图，当直线即过点时，截距最大，z取得最大值3，即，得．
（11）设围成弦图的直角三角形的三边长分别为，，依题意，，，解得，
设小边所对的角为，则，，.
（12）对任意的、，都有，注意到，又，故
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
117
192
解析：
（16）以投影面为底面，易得正方体的高为，设长方体底面边长分别为，则，.
三、解答题：
（17）解：(Ⅰ) 由，------------------------1分
得，----------------------------------①------------2分
∵ ∴ 故，--------------------3分
又，----------------------------②
①代入②得，∴=；-----------------5分
(Ⅱ)由及正弦定理得，---------------------7分
∵，∴，，------------------------9分
在△ABD中，由余弦定理得：，------11分
∴．----------------------------------------------12分
（18）解：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：
过关数
0
1
2
3
4
5
奖品数
0
1
2
4
8
16
------------2分
小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为
；------------------------------------4分
(Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为；---------------6分
(Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，--------------------------------------7分
小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，-------------------------------------8分
现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：
2
2
4
8
4
6
6
8
12
4
6
6
8
12
8
10
10
12
16
16
18
18
20
24
---------10分
共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为．----12分
（19）解：(Ⅰ) 可知，∴⊥EF、MN⊥EF，-------------------1分
A
B
D
C
F
E
A
B
C´
D´
E
F
M
M
N
N
又，得EF⊥平面，--------------------3分
得，--------------------4分
∵ ∴，--------------------------5分
又，∴平面ABFE．--------------------------------------6分
(Ⅱ) 设点M到平面的距离为h，
由，得，①
∵，，------------------------7分
∴,,-------------------------------------------8分
在中，，
又，，得，
∴，-----------------------------------------------10分
，又，
代入①式，得，解得，
∴点M到平面的距离为．---------------------------------12分
(20)解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于，
∴点M到直线的距离等于点M到焦点的距离，---------------1分
得是抛物线的准线，即，
解得，∴抛物线的方程为；-----------------------------------3分
可知椭圆的右焦点，左焦点，
由抛物线的定义及，得，
又，解得，-----------------------------------4分
由椭圆的定义得，----------------------5分
∴，又，得，
∴椭圆的方程为．-------------------------------------------------6分
（II）显然，，
由，消去x，得，
由题意知，得，-----------------------------------7分
由，消去y，得，
其中，
化简得，-------------------------------------------------------9分
又，得，解得，--------------------10分
切线在x轴上的截距为，又，
∴切线在x轴上的截距的取值范围是．----------------------------------12分
（21）解：(Ⅰ) ，，--------------------------1分
由已知得，且，
即，且，
所以，；-------------------------------------------------4分
(Ⅱ)设，则，恒成立，
∵，------------------------------5分
∴，-------------------------------------------6分
法一：由，知和在上单调递减，
得在上单调递减，----------------7分
又，
得当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，----------------------9分
得，由题意知，得，----------11分
所以．---------------------------------------------------------------------------12分
【法二：，-------8分
由，，知，
得当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，-----------------------10分
得，由题意知，得，
所以．----------------------------------------------------12分】
选做题：
（22）解：（Ⅰ）可知l1是过原点且倾斜角为的直线，其极坐标方程为
-----------------------------------------------------------------2分
抛物线C的普通方程为，-------------------------------------------3分
其极坐标方程为，
化简得．-----------------------------------------------------5分
（Ⅱ）解法1：由直线l1 和抛物线C有两个交点知，
把代入，得，-----------------6分
可知直线l2的极坐标方程为，-----------------------7分
代入，得，所以，----8分
，
∴△OAB的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分
【解法2：设的方程为，由得点，------6分
依题意得直线的方程为，同理可得点，-------------7分
故-------------------------8分
，（当且仅当时，等号成立）
∴△OAB的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】
（23）解：（Ⅰ）由，得，即，--------------3分
解得，所以；----------------------------------------------5分
（Ⅱ）法一：
-----------------------------------7分
因为，故，，，，--------8分
故，
又显然，故．-------------------------------------------------1 0分
【法二：因为，故，，----------------6分
而------------------------------7分
，-------------------------8分
即，
故．------------------------------------------------------------------10分】
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