河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题（理）含答案.doc

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，或，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 若实数满足条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，若，则 ．‎ ‎14.在中，分别为角的对边，，若，则 ．‎ ‎15.已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为 ．‎ ‎16.点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.‎ ‎18. 如图是某市‎2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择‎3月1日至‎3月14日中的某一天到达该市.‎ ‎（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；‎ ‎（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.‎ ‎（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；‎ ‎（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.‎ ‎21. 设函数）. ‎ ‎（1）若直线和函数的图象相切，求的值；‎ ‎（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；‎ ‎（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知定义在上的函数，且恒成立.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求证：.‎ 河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学 ‎（理）试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1) 由题知数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎.‎ ‎(2)设等比数列的首项为，则，依题有，即，解得，故，.‎ ‎18. 解：设表示事件“此人于3月日到达该市”.依题意知，，且.‎ ‎(1)设为事件“此人停留天空气质量都是重度污染” ，则，所以，即此人停留天空气质量都是重度污染的概率为.‎ ‎(2) 由题意可知，的所有可能取值为，且，，，‎ ‎，‎ ‎(或)，‎ 所以的分布列为 故的期望.‎ ‎19. 解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，故.又平面平面平面.‎ ‎(2)平面平面与均为正三角形，延长交的中点，连接平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，，‎ ‎，设，可得，设平面的一个法向量为，由，令，得，同理可得平面的一个法向量，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.‎ ‎20. 解：(1) 由题知，则 的中点坐标为，则，解得，故的方程为.‎ ‎(2) 依题可设直线的方程为，则，由消去，得，，设的坐标为，则，由题知，所以，即，显然，所以，即证，由题知为等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.‎ ‎21. 解：(1)设切点的坐标为，由得，所以切线方程为，即，由已知和为同一条直线，，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，‎ ‎.当且仅当时等号成立，.（注明：若由函数与相交于点，直线和函数的图象相切于，得出，得3分）‎ ‎(2) ①当时，由（1）结合函数的图象知，存在，使得对于任意的，都有，则不等式等价于，即，设，令得，令得.若在上单调递减，注意到，所以对任意的，都有，与题设不符. 若在上单调递增， ，所以对任意的，都有，符合题设.此时取，可得对任意，都有.‎ ‎②当时，由(1)结合函数的图象知 ‎，对任意都成立，等价于.设，则，由，得得在上单调递减，注意到，所以对任意的，都有，不符合题设.综上所述，的取值范围为.‎ ‎22. 解：(1)由，得 ‎，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.‎ ‎(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.‎ ‎23. 解：（1）,要使恒成立，则，解得.又，.‎ ‎（2），即，当且仅当，即时取等号，故.‎