湖北省黄冈市2017届高三第二次模拟考试数学试卷(理)含答案.doc

‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此试卷上答题无效）‎ 绝密 启用前 ‎ 黄冈中学2017届高三5月第二次模拟考试 ‎ 数学（理科）试卷 ‎ 命题教师：曹燕 谭志 审题教师：袁宏彬 张淑春 ‎ 考试时间：2017年5月17日下午3:00—5:00 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分.‎ 考生注意：‎ 1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.‎ 2. 选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性签字笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域黑色线框内作答超出答题区域书写的答案无效，保持卷面清洁，不折叠、不破损.‎ ‎4.做选考题时考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎5.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.‎ ‎ 第Ⅰ卷 选择题 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1． 已知i为虚数单位，R，复数，若为正实数，则的取值集合为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2． 已知集合，，则集合（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3． 的展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4． 已知等比数列中，，，且公比，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设函数，若，且，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 6．某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一 ‎ ‎ 起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则此几何体 ‎ 的表面积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，若抛物线上存在点， ‎ ‎ 使得，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值为（ ）‎ ‎ A．3.126 B．3.132 C．3.151 D．3.162 ‎ ‎10．已知函数，，若的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点、，则下列判断正确的是（ ）‎ A．， B． ， ‎ ‎ C． ， D．，‎ ‎11．已知函数和函数在区间上的图象交于三点，则△的面积是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）‎ ‎ A． B．8 C． D．6‎ ‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上.）‎ ‎13．已知向量,满足，，则在方向上的投影为 ．‎ ‎14．成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示就是 ‎,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前4组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41. 则按照此规律，第6组勾股数为 ．‎ ‎15．设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16．在△中，，，且在边上分别取两点，点 ‎ ‎ 关于线段的对称点正好落在边上，则线段长度的最小值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本题满分12分）‎ ‎ 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ 18． ‎（本题满分12分）‎ ‎ 如图1，在平行四边形中，，，是的中点，现将四边形沿折起，使平面，得到图2所示的几何体，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．‎ 图1‎ 图2‎ 18． ‎（本题满分12分）‎ ‎ 某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调研情况制成如下图所示的列联表：‎ 选择坐标系与参数方程 选择不等式选讲 合计 男生 ‎60‎ 女生 合计 ‎160‎ ‎（Ⅰ）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能否认为选题与性 ‎ 别有关.‎ ‎（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中 ‎ 共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望．‎ 附： ，其中．‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 18． ‎（本题满分12分）‎ ‎ 已知点分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点作两互相垂直的直线分别与椭圆相交于点和，求 的取值范围．‎ 19． ‎（本小题满分12分）‎ 设函数，，其中R，…为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证： (参考数据：)．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. ‎ 22． ‎（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数）．在以坐标原 ‎ 点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线 ‎ ‎ 的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）把曲线的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与曲线交于两点,与曲线交于两点，若点的直角坐标为 ‎ ，求△的面积．‎ 22． ‎（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若正实数满足，求的最小值．‎ ‎ 湖北省黄冈中学2017届高三5月第二次模拟 ‎ 考试答案 ‎1．【答案】B ‎ ‎ 【解析】为正实数，则．‎ ‎2．【答案】C ‎ 【解析】，，．‎ ‎3．【答案】A ‎ 【解析】的展开通项式为，，即的系数为．‎ ‎4．【答案】C ‎ 【解析】由，，得，则．‎ ‎5．【答案】D ‎ ‎ 【解析】当时，为增函数，又，且，故，‎ ‎ 则即，所以．‎ ‎6．【答案】B ‎ 【解析】方法一：；方法二：；‎ ‎ 方法三：．‎ ‎7．【答案】C ‎ ‎ 【解析】如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即 ‎ ‎ 为所求，且，，可求得表面积为.‎ ‎8．【答案】C ‎ 【解析】方法一：由，得在线段的中垂线上，‎ ‎ 且到抛物线准线的距离为，则有 ．‎ ‎ 方法二：设则有 ，则有．‎ ‎9．【答案】 D ‎ ‎ 【解析】由程序框图可得．‎ ‎10．【答案】C ‎ 【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，则点在第三象限，为 ‎ ‎ 两函数在第一象限的切点，要想满足条件，则有如图，做出点关于原点的对称点, ‎ 则点坐标为由图象知，即.‎ 方法二：的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点，‎ 则方程有且仅有两个根，则函数 有且仅有两个零点，，又，则，‎ 当时满足函数有且仅有两个零点，‎ 此时，，，即.‎ ‎11．【答案】D ‎ 【解析】，有图像可得为等腰三角形，‎ 底边为一个周期长，高为，则 ‎12．【答案】B ‎ ‎【解析】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距为，‎ 有题意可得，又，‎ ‎ 则．‎ 13． ‎【答案】‎ ‎【解析】向量在方向上的投影为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎ 【解析】方法一：由前4组勾股数可知，第一个数均为奇数，且成等差数列，‎ ‎ 后两个数是相邻的两正整数，有勾股数满足的关系得第6组勾股数为．‎ ‎ 方法二：若设第一个数为，则第二，三个数分别为，‎ ‎ 第6组的一个数为13，可得第6组勾股数为．‎ ‎15．【答案】 ‎ ‎ 【解析】作出直线所围成的区域，‎ ‎ 如图所示，，当时，满足题意.‎ ‎16．【答案】‎ ‎ 【解析】方法一： 设，‎ ‎ ∵A点与点P关于线段MN对称， ∴ ，，‎ ‎ 在中，，， ，，‎ ‎ 由正弦定理：‎ ‎ 则，当时此时，.‎ x y ‎ ‎ ‎ 方法二：建立如图如示坐标系 ‎ 由 得， 设，，‎ ‎ 与交于点，由，得，‎ x y ‎ ，此时．‎ ‎17．【解析】（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，则 ‎ ，又，‎ ‎ 得，，. …………………6分 ‎ （Ⅱ），‎ ‎ 故 ‎ ‎ ‎ 上述两式相减，得 ‎ …………………12分 ‎18．【解析】（Ⅰ）取的中点，连结、.‎ ‎ 因为，，故.‎ ‎ 又因为,，故.‎ ‎ 所以四边形是平行四边形，.‎ ‎ 在等腰中，是的中点，所以.‎ ‎ 因为平面，故.而，‎ ‎ 而平面.又因为，‎ ‎ 故平面. …………………5分 ‎ （Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则，，，‎ ‎ ，，，，.‎ ‎ 设是平面的一个法向量，由，‎ ‎ 得，令，则.‎ ‎ 设是平面的一个法向量，可得.故，‎ ‎ 所以二面角的余弦值为. …………………12分 A B C D E x z y ‎19．【解析】（Ⅰ）‎ 选择坐标系与参数方程 选择不等式选讲 合计 男生 ‎60‎ ‎45‎ ‎105‎ 女生 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 合计 ‎100‎ ‎60‎ ‎160‎ ‎ ，故不能认为选题与性别有关．…………………5分 ‎ （Ⅱ）选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数比例为100：60＝5：3，‎ ‎ 所以抽取的8人中倾向“坐标系与参数方程”的人数为5，倾向“不等式选讲”的人 ‎ 数为3． ‎ ‎ 依题意，得，，，‎ ‎ ， ． …………………9分 ‎ 故的分布列如下:‎ ‎ 所以． …………………12分 ‎20．【解析】（Ⅰ）方法一：由题意得 ‎ 且 ∴‎ ‎ 方法二：由， 得. ‎ ‎ ∴椭圆方程为. …………………4分 ‎ （2）设，，直线为.直线为 ‎ 联立 ‎ 则，， …………………6分 ‎ .‎ ‎ ∵ ‎ ‎ 同理 ‎ ‎ ‎ 令，则 ‎ 当时，，‎ ‎ ∴ . …………………12分 ‎21．【解析】(Ⅰ)令，‎ ‎ 则 ‎ ①若，则，，在递增，，‎ ‎ 即在 恒成立，满足，所以； ‎ ‎ ②若，在递增，且 ‎ 且时，，则使，‎ ‎ 则在递减，在递增，‎ ‎ 所以当时，即当时， ，‎ ‎ 不满足题意，舍去；‎ ‎ 综合①，②知的取值范围为. …………………5分 ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，对恒成立， ‎ ‎ 令，则 即； …………………7分 ‎ 由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，‎ ‎ 则，即，又，即，‎ ‎ 令，即，则，‎ ‎ 故有. …………………12分 ‎22．【解析】（1）的普通方程为即，所以 ‎ 的极坐标方程为． …………………4分 ‎ （2）依题意，设点的极坐标分别为,‎ ‎ 把代入，得，把代入，得，‎ ‎ 所以,‎ ‎ 依题意，点到曲线的距离，‎ ‎ 所以． …………………10分 ‎ 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若正实数满足，求的最小值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，当且仅当时取等号，‎ 故，即． …………………5分 ‎ （Ⅱ）‎ 当且仅当时取等号. …………………10分