河南省郑州市2017年高考数学三模试卷（文科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（　　）‎ A．20 B．30 C．40 D．50‎ ‎3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，则的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2017的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知等比数列{an}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2‎ ‎10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（　　）‎ A．50π B．100π C．200π D．300π ‎12．已知函数f（x）=，且f=（　　）‎ A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为　　．‎ ‎14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=　　．‎ ‎16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：‎ 组别 PM2.5浓度（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ 第一组 ‎（0，35]‎ ‎32‎ 第二组 ‎（35，75]‎ ‎64‎ 第三组 ‎（75，115]‎ ‎16‎ 第四组 ‎115以上 ‎8‎ ‎（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？‎ ‎（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．‎ ‎（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；‎ ‎（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数h（x）=（x﹣a）ex+a．‎ ‎（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；‎ ‎（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．‎ ‎22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；‎ ‎（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），‎ 对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，‎ m=﹣1时，x∈∅．‎ m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．‎ m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．‎ ‎∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．‎ ‎∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（　　）‎ A．20 B．30 C．40 D．50‎ ‎【考点】B4：系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．‎ ‎【解答】解：根据系统抽样的特征，得；‎ 从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．‎ 故选：B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．‎ ‎【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，‎ ‎∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．‎ 则实数m的取值范围是（﹣2，1）．‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】F1：归纳推理．‎ ‎【分析】根据新定义直接判断即可．‎ ‎【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，‎ 个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，‎ 则5288 用算筹可表示为11，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．已知，则的值等于（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．‎ ‎【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，‎ ‎∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2017的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，‎ 由f（0）=0，可得c=0．‎ 可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，‎ 解得m=1，‎ 即f（x）=x2+x，‎ 则==﹣，‎ 数列的前n项和为Sn，‎ 则S2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A． B． C． D．‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．‎ 这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知等比数列{an}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】8G：等比数列的性质．‎ ‎【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，‎ ‎∵a6+a8=4，‎ ‎∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2‎ ‎【考点】7F：基本不等式．‎ ‎【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），‎ 又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，‎ 则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，‎ 即2a+b+c的最小值为2﹣2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】K4：椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．‎ ‎【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，‎ ‎∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．‎ 由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．‎ c==1．‎ 把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．‎ ‎∴此时△FMN的面积S==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（　　）‎ A．50π B．100π C．200π D．300π ‎【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，‎ 所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，‎ 且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，‎ 从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，‎ 并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，‎ 设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，‎ ‎∴4R2=200，‎ ‎∴球的表面积为S=4πR2=200π．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，且f=（　　）‎ A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017‎ ‎【考点】3T：函数的值．‎ ‎【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=1++‎ ‎=1++，‎ 令h（x）=，‎ 则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），‎ 即h（x）是奇函数，‎ ‎∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h ‎13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为　4　．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（2，1），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 化目标函数z=x+2y为y=﹣，‎ 由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m=　　．‎ ‎【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．‎ ‎【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，‎ ‎∴=m+3=•2•cos30°，求得，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA=　　．‎ ‎【考点】HP：正弦定理．‎ ‎【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵A=2B，‎ ‎∴sinA=sin2B=2sinBcosB，‎ ‎∵b=a，‎ ‎∴由正弦定理可得： ===2cosB，‎ ‎∴cosB=，‎ ‎∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为　　．‎ ‎【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；‎ 设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；‎ ‎∵=p+q，‎ ‎∴==r2，‎ 即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，‎ ‎∴p2+q2﹣pq=1，‎ ‎∴（p+q）2=3pq+1；‎ 又M为劣弧AC上一动点，‎ ‎∴0≤p≤1，0≤q≤1，‎ ‎∴p+q≥2，‎ ‎∴pq≤=，‎ ‎∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，‎ 解得1≤（p+q）2≤4，‎ ‎∴1≤p+q≤2；‎ 即p+q的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，‎ ‎（2）化简bn根据式子的特点进行裂项，再代入数列{bn}的前n项和Sn，利用裂项相消法求出Sn．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．‎ ‎∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），‎ 解得d=2，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，‎ ‎（2）bn====（﹣），‎ ‎∴Sn=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣‎ ‎　‎ ‎18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：‎ 组别 PM2.5浓度（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ 第一组 ‎（0，35]‎ ‎32‎ 第二组 ‎（35，75]‎ ‎64‎ 第三组 ‎（75，115]‎ ‎16‎ 第四组 ‎115以上 ‎8‎ ‎（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？‎ ‎（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；‎ ‎（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，‎ 抽样比k==，‎ 第一组抽取32×=8天；‎ 第二组抽取64×=16天；‎ 第三组抽取16×=4天；‎ 第四组抽取8×=2天 ‎（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．‎ 所以6天任取2天的情况有：‎ AB，AC，AD，A1，A2，‎ BC，BD，B1，B2，CD，‎ C1，C2，D1，D2，12，共15种 记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：‎ A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种 所以，所求事件A的概率P=‎ ‎　‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．‎ ‎（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；‎ ‎（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E；‎ ‎（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．‎ ‎∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．‎ 又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，‎ ‎∴CD⊥平面ABB1A1．‎ ‎∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴CD⊥B1E；‎ ‎（2）解：当λ=时，．‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．‎ ‎（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，‎ ‎∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为．‎ ‎（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．‎ 由求根公式化简整理得，‎ 假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．‎ ‎∵，‎ ‎===．‎ ‎∴求得m=﹣1．‎ 因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎21．已知函数h（x）=（x﹣a）ex+a．‎ ‎（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；‎ ‎（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．‎ ‎（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）ex，令h'（x）=0得x=a﹣1．‎ 当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）ex+a递增，h（x）的最小值为．‎ 当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．‎ 当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．‎ 综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣ea﹣1+a．‎ ‎（2）令，‎ 由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”‎ 等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．‎ 即h（x）min≥f（x）min．‎ 由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当a=3时，，x∈，‎ ‎①当b≤1时，，‎ 由得，与b≤1矛盾，舍去．‎ ‎②当1＜b＜2时，，‎ 由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．‎ ‎③当b≥2时，，‎ 由得．‎ 综上，b的取值范围是．‎ ‎　‎ ‎22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．‎ ‎【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则，，‎ ‎==．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当时，|AB|的最小值为2．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；‎ ‎（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；‎ ‎（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，‎ 所以﹣3≤f（x）≤3，‎ ‎∴m≥﹣3；‎ ‎（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，‎ 即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，‎ 当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；‎ 当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，‎ 即x2﹣10x+22≤0，∴；‎ 当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，‎ 即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；‎ 综上，原不等式的解集为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费