2017年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（文科）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，，则A∩B=（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）‎ ‎2．欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出了欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ．被后人称为“最引人注目的数学公式”．若，则复数z=eiθ对应复平面内的点所在的象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（　　）‎ A．80m B．100m C．40m D．50m ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a1+a5+a9=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．36‎ ‎5．已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，连接..并延长交抛物线C于点Q，若|PF|=|PQ|，则|QF|=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎7．已知如图所示的程序框图的输入值x∈[﹣1，4]，则输出y值的取值范围是（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．[0，2] B．[﹣1，2] C．[﹣1，15] D．[2，15]‎ ‎8．设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎9．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．给出下列四个命题：‎ ‎①回归直线恒过样本中心点；‎ ‎②“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎③“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“对∀x∈R，均有x2+2x+3＞0”；‎ ‎④“命题p∨q”为真命题，则“命题¬p∧¬q”也是真命题．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎12．设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f（x）=x+1，数列{an}的通项公式为an=2n﹣7，则f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且，则S4=　　．‎ ‎14．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是　　．‎ ‎16．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，tanA=，tanC=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设α+β=B（α＞0，β＞0），求sinα﹣sinβ的取值范围．‎ ‎18．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年30天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，将这30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA的中点，∠BAD=60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．‎ ‎20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，点A在椭圆C上，|AF1|=2，∠F1AF2=60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为P，Q的中点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，且MN⊥PQ，求直线MN所在的直线方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（2，）处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）＞2（x﹣lnx）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣4m|+|x+|（m＞0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）≥4；‎ ‎（Ⅱ）若k为f（x）的最小值，且a+b=k（a＞0，b＞0），求的最小值．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，，则A∩B=（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．‎ ‎【分析】先求出集合B，再根据交集的定义计算即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），=（0，+∞），‎ 则A∩B=（0，2），‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出了欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ．被后人称为“最引人注目的数学公式”．若，则复数z=eiθ对应复平面内的点所在的象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】A7：复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】由新定义，可得z=eiθ=i=，即可复数位置．‎ ‎【解答】解：由题意z=eiθ=i=，对应的点为（）；‎ 所以在第二象限；‎ 故选：B 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎3．某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（　　）‎ A．80m B．100m C．40m D．50m ‎【考点】CF：几何概型．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：由已知易得：‎ l从甲地到乙=500‎ l途中涉水=x，‎ 故物品遗落在河里的概率P==1﹣=‎ ‎∴x=100（m）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a1+a5+a9=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．36‎ ‎【考点】85：等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先由等差数列的求和公式，可得a1+a9=16，再等差数列的性质，a1+a9=2a5可求a5，然后代入可得结论．‎ ‎【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=（a1+a9）=54，‎ ‎∴a1+a9=12，‎ 由等差数列的性质可知，a1+a9=2a5，‎ ‎∴a5=6，‎ ‎∴a1+a5+a9=18．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5．已知=（3，﹣1），=（1，﹣2），则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=3+2=5， ==， ==．‎ ‎∴===，‎ ‎∴与的夹角为，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，连接..并延长交抛物线C于点Q，若|PF|=|PQ|，则|QF|=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】K8：抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】运用抛物线的定义，设Q到l的距离为d，求出斜率，求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=3，利用|QF|=d可求．‎ ‎【解答】解：设Q到l的距离为d，则由抛物线的定义可得，|QF|=d，‎ ‎∵|PF|=|PQ|，∴，‎ ‎∴直线PF的斜率为﹣．‎ ‎∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），‎ 与y2=8x联立可得x=3，（由于Q的横坐标大于2）‎ ‎∴|QF|=d=3+2=5，‎ 故选：C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎7．已知如图所示的程序框图的输入值x∈[﹣1，4]，则输出y值的取值范围是（　　）‎ A．[0，2] B．[﹣1，2] C．[﹣1，15] D．[2，15]‎ ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】算法的功能是求y=的值，分段求出输出值x∈[﹣1，4]时y的范围，再求并集．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，‎ 当4≥x＞1时，可得：0＜y=log2x≤2，‎ 当﹣1≤x＜1时，可得：﹣1≤y=x2﹣1≤0，可得：﹣1≤x≤0．‎ 故输出值y的取值范围为：[﹣1，2]．‎ 故选：B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎8．设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎【考点】4M：对数值大小的比较．‎ ‎【分析】利用指数函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形的四棱柱，挖去一个圆锥；结合图中数据，计算它的体积即可．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图知，‎ 该几何体是底面为正方形的四棱柱，挖去一个圆锥；‎ 画出图形如图所示，‎ 结合图中数据，计算该几何体的体积为：‎ V=V四棱柱﹣V圆锥 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=22×4﹣π•12•4‎ ‎=16﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则该双曲线离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几何量之间的关系，从而可求双曲线离心率．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±，即bx±ay=0‎ 圆C：x2+y2﹣6x+5=0化为标准方程（x﹣3）2+y2=4‎ ‎∴C（3，0），半径为2‎ ‎∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切 ‎∴‎ ‎∴9b2=4b2+4a2‎ ‎∴5b2=4a2‎ ‎∵b2=c2﹣a2‎ ‎∴5（c2﹣a2）=4a2‎ ‎∴9a2=5c2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴=‎ ‎∴双曲线离心率等于 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．给出下列四个命题：‎ ‎①回归直线恒过样本中心点；‎ ‎②“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件；‎ ‎③“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“对∀x∈R，均有x2+2x+3＞0”；‎ ‎④“命题p∨q”为真命题，则“命题¬p∧¬q”也是真命题．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】2K：命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①根据回归直线的定义判断即可；‎ ‎②根据概念判断；‎ ‎③存在命题的否定是把存在改为任意，再否定结论；‎ ‎④得出p，q至少有一个为真，得出¬p，¬q则至少一个为假，得出结论．‎ ‎【解答】解：①回归直线恒过样本中心点，由回归直线方程定义可知，正确；‎ ‎②“x=6”能推出“x2﹣5x﹣6=0”，反之不一定，故应是充分不必要条件，故错误；‎ ‎③“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是对∀x∈R，均有x2+2x+3≥0，故错误；‎ ‎④“命题p∨q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则¬p，¬q则至少一个为假，故“命题¬p∧¬q”也是假命题，故错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f（x）=x+1，数列{an}的通项公式为an=2n﹣7，则f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】63：导数的运算．‎ ‎【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（2，1）对称，即f（x）+f（4﹣x）=2，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x+1，‎ ‎∴f′（x）=x2﹣4x+，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣4，‎ 令f″（x）=0，解得：x=2，‎ 而f（2）=﹣8+×2+1=1，‎ 故函数f（x）关于点（2，1）对称，‎ ‎∴f（x）+f（4﹣x）=2，‎ ‎∵an=2n﹣7，‎ ‎∴a1=﹣5，a8=9，‎ ‎∴f（a1）+f（a8）=2，‎ 同理可得f（a2）+f（a7）=2，f（a3）+f（a6）=2，f（a4）+f（a5）=2，‎ ‎∴f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=2×4=8，‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且，则S4=　15　．‎ ‎【考点】89：等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．‎ ‎【解答】解：正项等比数列{an}中，a1=1，且，‎ ‎∴1﹣=，‎ 即q2﹣q﹣2=0，‎ 解得q=2或q=﹣1（舍去），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴S4==15，‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎14．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是　y=sin2x　．‎ ‎【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】根据函数图象平移变换“左加右减，上加下减”的原则，结合平移前函数的解析式及函数平移方式，可得答案．‎ ‎【解答】解：将函数=sin[2（x+）]的图象向右平移个单位，‎ 可得函数y=sin[2（x+﹣）]+2=sin2x+2的图象，‎ 再向下平移2个单位可得函数y=sin2x的图象．‎ 故答案为：y=sin2x．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是　　．‎ ‎【考点】R3：不等式的基本性质．‎ ‎【分析】由题意可得0＜a+b＜2，﹣1＜﹣a+b＜1，作出可行域如图，设z=2a﹣b，利用z的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，‎ ‎∴0＜a+b＜2，﹣1＜﹣a+b＜1，‎ 作出可行域如图 设z=2a﹣b，得b=2a﹣z，则平移直线b=2a﹣z，‎ 则由图象可知当直线经过点B时，直线b=2a﹣z得截距最小，‎ 由可得a=，b=‎ 此时z最大为z=2×﹣=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当直线经过点A时，直线b=2a﹣z得截距最大，‎ 由可得a=﹣，b=，‎ 此时z最小为z=2×（﹣）﹣=﹣，‎ ‎∴2a﹣b的取值范围是，‎ 故答案为：，‎ ‎　‎ ‎16．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是C或D作品获得一等奖”；‎ 乙说：“B作品获得一等奖”；‎ 丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“是C作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是　B　．‎ ‎【考点】F4：进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．‎ ‎【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，‎ 若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，‎ 若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，‎ 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：B ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，tanA=，tanC=．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设α+β=B（α＞0，β＞0），求sinα﹣sinβ的取值范围．‎ ‎【考点】GR：两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可求tanB的值，结合范围0＜B＜π，可求B的值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinα﹣sinβ=sin（α﹣），结合范围，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，‎ ‎∴B=π﹣（A+C），‎ 又，，‎ 则，‎ ‎∵B为△ABC的内角，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵α+β=B（α＞0，β＞0），‎ ‎∴．‎ ‎∵=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又α+β=B（α＞0，β＞0），‎ 则，，‎ ‎∴，即的范围是．‎ ‎　‎ ‎18．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年30天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，将这30天的测量结果绘制成样本频率分布直方图如图．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．‎ ‎【考点】B8：频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）利用频率分布直方图计算平均数，比较即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知（0.006+0.024+0.006+a）×25=1，‎ 解得a=0.004；‎ ‎（Ⅱ）计算平均数为：‎ ‎=25×（0.006×12.5+0.024×37.5+0.006×62.5+0.004×87.5）=42.5（微克/立方米），‎ 因为42.5＞35，所以该居民区的环境质量需要改善．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA的中点，∠BAD=60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．‎ ‎【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AC，BD相交于点O，连接OE．由三角形中位线定理可得OE∥CP，再由线面平行的判定可得PC∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）由E为PA的中点，可求△PCE的面积，证出DO是三棱锥D﹣PCE的高并求得DO=1，然后利用等积法求得三棱锥P﹣EDC的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE．‎ 由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，‎ 又E为AP的中点，∴OE∥CP，‎ ‎∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，‎ ‎∴PC∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）解：∵E为PA的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，‎ 又∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BD，‎ 又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，‎ 即DO是三棱锥D﹣PCE的高，DO=1，‎ 则．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|=2，∠F1AF2=60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为P，Q的中点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，且MN⊥PQ，求直线MN所在的直线方程．‎ ‎【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率以及由余弦定理，转化求解椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，由韦达定理求解N，M的坐标，MN⊥PQ，转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，得a=2c，‎ 因为|AF1|=2，|AF2|=2a﹣2，‎ 由余弦定理得，‎ 解得c=1，a=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 联立整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，‎ 由韦达定理知，，‎ 此时，又，则，‎ ‎∵MN⊥PQ，∴，得到或．‎ 则kMN=﹣2或，MN的直线方程为16x+8y﹣1=0或16x+24y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点P（2，）处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）＞2（x﹣lnx）．‎ ‎【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过导函数求解切线的斜率，得到切点坐标，然后求解切线方程．‎ ‎（Ⅱ）设函数，，x∈（0，+∞），‎ 设h（x）=ex﹣2x，x∈（0，+∞），求出导函数，通过导函数的符号，求解g（x）min=g（1）=e﹣2＞0，从而证明结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，，又切点为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以切线方程为，即e2x﹣4y=0．‎ ‎（Ⅱ）证明：设函数，，x∈（0，+∞），‎ 设h（x）=ex﹣2x，x∈（0，+∞），则h'（x）=ex﹣2，令h'（x）=0，则x=ln2，‎ 所以x∈（0，ln2），h'（x）＜0；x∈（ln2，+∞），h'（x）＞0．‎ 则h（x）≥h（ln2）=2﹣2ln2＞0，‎ 令，可得x=1，‎ 所以x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0；‎ 则g（x）min=g（1）=e﹣2＞0，从而有当x∈（0，+∞），f（x）＞2（x﹣lnx）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把C1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程ρ2﹣10ρcosθ﹣8ρsinθ+16=0，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，联立，即可求C1与C2交点的极坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），‎ 则曲线C1的普通方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2=25，‎ 曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣10ρcosθ﹣8ρsinθ+16=0．‎ ‎（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程ρ2﹣10ρcosθ﹣8ρsinθ+16=0，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，联立得，又θ∈[0，2π），则θ=0或，‎ 当θ=0时，ρ=2；当时，，所以交点坐标为（2，0），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣4m|+|x+|（m＞0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）≥4；‎ ‎（Ⅱ）若k为f（x）的最小值，且a+b=k（a＞0，b＞0），求的最小值．‎ ‎【考点】R6：不等式的证明；3H：函数的最值及其几何意义；7F：基本不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义直接证明：f（x）≥4；‎ ‎（Ⅱ）利用（1）的结果，利用基本不等式转化求解即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：，‎ 当且仅当时取“=”号．‎ ‎（Ⅱ）解：由题意知，k=4，即a+b=4，即，‎ 则，‎ 当且仅当，时取“=”号．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017年5月24日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费