高密市2017届九年级数学下学业水平测试题（三）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 山东省高密市2017届九年级数学下学期学业水平测试题（三）‎ 注意事项：‎ 本试题共120分．考试时间为120分钟．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题选对得3分.）‎ ‎1. 下列各组数中，相等的是 （ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】B ‎【解析】试题解析：A． 与不相等；‎ ‎ B．=，=，相等；‎ C.=与不相等；‎ D．=，=-，不相等.‎ 故选B．‎ ‎2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题解析：A. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；‎ B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；‎ C. 既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；‎ D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误.‎ 故选C.‎ ‎3. 长方体的主视图、俯视图如图所示，则长方体的表面积为（ ）‎ A. 12 B. 19 C. 24 D. 38‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】D ‎【解析】试题解析：由主视图可得长方体的长为4，高为1， 由俯视图可得长方体的宽为3， 则这个长方体的表面积是 （4×1+4×3+3×1）×2 =19×2 =38． 故这个长方体的表面积是38．‎ 故选D.‎ ‎4. 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数精确到百万位用科学记数法表示正确的是（ ）‎ A. 6.80×107 B. 6.8×108 元 C. 6.80×108元 D. 6.8×106元 ‎【答案】C 故选C.‎ ‎5. 下列运算正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A选项a3+4=a7,故是错误的；‎ B选项＝a3╳4=a12,故是错误的；‎ D选项＝a3-4=a-1,故是错误的；‎ 故选C。‎ ‎6. 已知抛物线y=3x2+1与直线y=4sina-x只有一个交点，则锐角α等于（ ）‎ A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题解析：联立， 消掉y得，3x2+1=4sinax， 整理得，3x2-4sinax+1=0， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵只有一个交点， ∴△=(-4sina )2-4×3×1=0， 解得sina1=，sina2=-(舍去)．‎ ‎∴α=60°‎ 故选A.‎ ‎7. 如图，已知A、B是反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C．过点 P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P 运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、D；‎ ‎②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C． 故选A．‎ 点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，要学会分段考虑问题，需要掌握的知识点有从反比例函数图象上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴所围成的矩形的面积为定值，故可以排除B、D选项，而点P在BC段运动时，四边形的面积呈线性减少，是一次函数关系，故A选项符合，C选项不符合，也就是要学习用 排除法来解答选择题.‎ ‎8. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x-2）的是（ ）‎ A. x2-4 B. x3-4x2-12x C. x2-2x D. (x-3)2+2(x-3)+1‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题解析：A. x2-4=（x+2）(x-2) , 含有因式（x-2）,不符合题意；‎ B. x3-4x2-12x=x(x+2)(x-6),gi含有因式（x-2）,正确；‎ C. x2-2x=x(x-2), 含有因式（x-2）,不符合题意；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 D. (x-3)2+2(x-3)+1=x2-4x+4=(x-2)2, 含有因式（x-2）,不符合题意.‎ 故选B.‎ ‎9. 如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，－1），AB=．将⊙P向上平移，当⊙P与x轴相切时平移的距离是（ ）‎ A. 1 B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题解析：∵过点P作PC⊥AB于点C，连接PA，‎ ‎ ∵AB=2， ∴AC=AB=， ∵点P的坐标为（3，-1）， ∴PC=1， ∴PA==2， ∵将⊙P向上平移，且⊙P与x轴相切， ∴⊙P与x轴相切时点P的坐标为：（3，2）．‎ 故⊙P与x轴相切时平移的距离为：2-（-1）=2+1=3.‎ 故选D.‎ ‎10. 关于的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题解析：∵关于x的方程的解为正数， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴2-（x+m）=2（x-2）， 解得：x=， 则6-m＞0， 故m＜6， ∵关于y的不等式组有解， ∴m+2≤y≤3m+4， 且m+2≤3m+4， 解得：m≥-1， 故m的取值范围是：-1≤m＜6， ∵x-2≠0， ∴x≠2， ∴≠2，且m≠0， 则符合题意的整数m有：-1，1，2，3，4，5，共6个． 故选C．‎ ‎11. 如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB．过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题解析：如图，连接CE．‎ ‎ ∵AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作， ∴∠ACB=90°，OA=OC=OD=2，BC=CE=4． ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵OE∥BC， ∴∠AOE=∠COE=90°． ∴在直角△OEC中，OC=CE， ∴∠OEC=30°，OE=2． ∴∠ECB=∠OEC=30°， ∴S阴影=S扇形ACB-S扇形AOD-S扇形ECB-S△OCE ‎= ‎ ‎=．‎ 故选A.‎ ‎12. 如图，已知二次函数的图象如图所示，给出以下四个结论：①，②，③，④. 其中正确的个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题解析：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线经过原点， ∴c=0， 则abc=0，所以①正确； 当x=1时，函数值是a+b+c＜0，则②错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=-=-＜0， ∴b=3a＜0， 又∵a＜0， ∴a＞b，则③正确； ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2-4ac＞0，所以④错误． 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ 二、填空题（本大题共6小题，共18分. 只填写最后结果，每小题填对得3分.）‎ ‎13. 已知，则代数式 的值为_________.‎ ‎【答案】95；‎ ‎【解析】化简可得， 所以 所以=‎ ‎14. 若单项式 与的和仍是单项式，则=_________________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题解析：∵单项式 与的和是单项式 ‎∴单项式 与的是同类项 故 解得：m=3，n=1‎ ‎∴m-n=3-1=‎ ‎15. 下图是根据今年某校九年级学生跳绳测试的成绩绘制成的统计图.如果该校九年级共有200名学生参加了这项跳绳测试，根据该统计图给出的信息可得这些同学跳绳测试的平均成绩为__________. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】175.5; ‎ ‎【解析】试题解析：一班人数：200×22%=44， 二班人数：200×27%=54， 三班人数：200×26%=52， 四班人数：200×25%=50， 这些同学跳绳考试的平均成绩为：（180×44+170×54+175×52+178×50）÷200=175.5‎ ‎16. 已知直线y1=2x-4与双曲线y2=(k>0)在第一象限内交于点P（6,8），则当时，自变量x的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题解析：∵y1>0‎ ‎∴2x-4>0‎ ‎∴x>2‎ 又：直线y1=2x-4与双曲线y2=(k>0)在第一象限内交于点P（6,8），且 ‎∴‎ 所以：.‎ ‎17. 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点E坐标为（0，﹣），点P是对角线OC上一个动点，则EP+BP最短的最短距离为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题解析：连接ED，如图， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ∵点B的对称点是点D， ∴DP=BP， ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∵点E的坐标为（0，-）， 直线ED= ‎ ‎18. 如图①，在△AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为____________．‎ ‎【答案】（36,0）‎ ‎【解析】试题解析：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4， ∴AB=5， ∴图③、④的直角顶点坐标为（12，0）， ∵每旋转3次为一循环， ∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为（24，0）， ∴图⑨、⑩的直角顶点为（36，0）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19. 已知关于x的方程x2+2mx-(m+1)=0，若两根倒数的和比两根倒数的积小1，求m的值.‎ ‎【答案】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系列式求解即可.‎ 试题解析：设方程的两根为，x2， 则x1+x2=-2m，x1x2=-(m+1)，‎ 由题意可知：，即：‎ ‎∴， 解得：.‎ 此时：方程有实根 ‎∴‎ ‎20. 为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现在随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A（植物园），B（花卉园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.‎ 请根据以上信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查的样本容量是　　　　 ，并补全条形统计图；  （2）若该学校共有3600名学生，试估计该校最想去森林公园的学生人数；‎ ‎（3）从选项为“D(森林公园)”的学生中抽取了小明和小军两人做游戏，游戏规则如下：每人从1,2，…，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁选择的数，谁就获胜；若小军选择的数是5，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率.‎ ‎【答案】（1）60，补图见解析；（2）720人；（3） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由A的人数及其人数占被调查人数的百分比可得；根据各项目人数之和等于总数可得C选项的人数； （2）用样本中最想去湿地公园的学生人数占被调查人数的比例乘总人数即可．‎ ‎（3）画树状图即可求解.‎ 解：（1）本次调查的样本容量是15÷25%=60；‎ 选择C的人数为：60-15-10-12=23（人），补图如下：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎（2）该校最想去森林公园的学生人数为：；‎ ‎（3）树状图如下：‎ 共有16种等可能的结果，其中和为5的结果有4种，因此小军获胜的概率为. ‎ ‎21. 如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB,AD，BC的延长线相交于点E.‎ ‎（1）求证：AD是半圆O的切线； （2）连接CD，求证：∠A=2∠CDE； （3）若∠CDE=27°，OB=2，求弧BD的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：（1）连接OD，BD，‎ ‎ ∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°， ∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB， ∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO， ∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°; 又∵OD是圆O的半径，∴AD是半圆O的切线； ‎ ‎（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°， ∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD=∠COD ∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°， ∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°， ∴∠BDO=∠CDE， ∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO=2∠CDE， ∴∠A=2∠CDE； ‎ ‎（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°-54°=126°， ∵OB=2，∴ ‎ ‎【点睛】本题考查了切线是性质，弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎22. 小明同学要测量公园内被湖水隔开的两颗大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°的方向.‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米；参考数据，，）. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】两棵大树A和B之间的距离约为386米 ‎【解析】试题分析：（1）先利用平行线的性质得∠ACM=∠DAC=15°，再利用平角的定义计算出∠ACB=105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数； （2）作CH⊥AB于H，如图，易得△ACH为等腰直角三角形，则AH=CH=AC=100，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=CH=100，AB=AH+BH=100+100，然后进行近似计算即可．‎ 试题解析：由题意可知：∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+15°=45°，∠MCA=∠CAD=15°，‎ ‎∴∠ACB=180°-∠MCA-∠BCN=180°-15°-60°=105°‎ 在△ABC中，∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=180°-105°-45°=30°； ‎ 从点C作CH⊥AB于点H ‎. ‎ 在Rt△ACH中，∵AC=200(米)，∠CAH=45°，‎ ‎∴CH=ACsin∠CAH=200×sin45°=200×=100 （米）‎ ‎∴AH=CH=100(米) ‎ 在Rt△BCH中，∵CH=100(米)，∠CBH=30°，‎ ‎∴； ‎ ‎∴AB=AH+BH=100+100≈386（米）‎ 答：两棵大树A和B之间的距离约为386米 ‎23. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．‎ ‎（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）‎ ‎【答案】（1）（50≤x≤100）；（2）销售单价应不低于82元，且不超过90元. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程； （2）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（-5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．‎ 试题解析：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）] =（x-50）（-5x+550） =-5x2+800x-27500 ∴y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；‎ ‎（2）当y=4000时，-5（x-80）2+4500=4000， 解得x1=70，x2=90． ∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元． 由每天的总成本不超过7000元，得50（-5x+550）≤7000， 解得x≥82． ∴82≤x≤90， ∵50≤x≤100， ∴销售单价应该控制在82元至90元之间．‎ ‎24. 在ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC.‎ ‎（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG.‎ ‎ ①求证：BE=BF；‎ ‎ ②请判断△AGC的形状，并说明理由.‎ ‎（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG，判断△AGC的形状.（直接写出结论不必证明）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】（1）①证明见解析；②△AGC是等腰直角三角形．证明见解析；（2）△AGC是等边三角形. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明； ②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可； （2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．‎ 试题解析：（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC， ∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF， ∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF=∠FDC，∴∠F=∠BEF， ∴BF=BE； ②△AGC是等腰直角三角形． 理由如下：连接BG，‎ ‎ 由①知，BF=BE，∠FBC=90°，∴∠F=∠BEF=45°， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵G是EF的中点，∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°， ∵∠FAD=90°，∴AF=AD，又∵AD=BC，∴AF=BC， 在△AFG和△CBG中， ∴△AFG≌△CBG， ∴AG=CG，∠FAG=∠BCG， 又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，‎ 即∠GAC+∠ACG=90°，∴∠AGC=90°，∴△AGC是等腰直角三角形； ‎ ‎(2)△AGC是等边三角形. ‎ 证明：连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，‎ ‎ ∴△BFG是等边三角形， ∴FG=BG，∠FBG=60°， 又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°， ∴∠ABC=∠ADC=60° ∴∠CBG=180°-∠FBG-∠ABC=180°-60°-60°=60°， ∴∠AFG=∠CBG， ∵DF是∠ADC的平分线， ∴∠ADF=∠FDC， ∵AB∥DC， ∴∠AFD=∠FDC， ∴∠AFD=∠ADF， ∴AF=AD， 在△AFG和△CBG中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFG≌△CBG（SAS）， ∴AG=CG，∠FAG=∠BCG， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°-60°=120°， ∴∠AGC=180°-（∠GAC+∠ACG）=180°-120°=60°， ∴△AGC是等边三角形．‎ ‎【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．‎ ‎25. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；‎ ‎（2）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同．‎ ‎①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？‎ ‎②是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） A(-3，0)；（2）时，. （3）t的值为或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直线y＝−x+9与x轴，y轴分别交于B，C两点，分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标． （2）连接OM，PM与⊙O′相切作为题中的已知条件来做．由直径所对的圆周角为直角可得∠OMC=90°从而得∠OMB=90°．又因为O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP得到OP为⊙O′的切线，然后根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得OP=PM，根据等边对等角得∠POM=∠PMO，然后根据等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边得PM=PB，然后等量代换即可求出OP的长，加上OA的长即为点P 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 运动过的路程AP，最后根据时间等于路程除以速度即可求出时间t的值． （3）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15-3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后aa过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=-时对应的S的值即可求出此时的最大值． ②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90°时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值．‎ 试题解析：（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．∴C（0，9），B（12，0）． 又抛物线经过B，C两点，∴，解得：，∴‎ 令y=0，解得：A(-3，0) ‎ ‎（2）①过点Q作QD⊥OB于点D． ∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴ ∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴，解得 又 ‎∴（0＜t＜5）‎ 当时，. ‎ ‎②存在△NCQ为直角三角形的情形.‎ ‎∵BC=BA=15， ∴∠BCA=∠BAC，即∠NCQ=∠CAO ‎∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.‎ 如图,当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△NQC∽△COA，∴，∴，解得：； ‎ 当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO ‎∴△NQC∽△OCA，∴，∴，解得：t=.‎ 综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为或.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费